Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Séries entièresSéries entières
Énoncé du sujet
On considère la série entière 
.
Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.
. Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.
Correction
, alors, pour tout 
,
![\[\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=|x|^2\dfrac{1}{2(n+1)}\to0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE4_c/3.png)
et la règle de d'Alembert montre donc que le rayon de convergence est
.
la présence de
incite à se rapprocher de la série de la fonction exponentielle, ici de 
.
Plus précisément, en faisant attention aussi au 1er terme manquant,
![\[\begin{array}{ll}S(x)&=\dsp\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^n n!}x^{2n}\\[1em]
&=-\dsp\sum_{n\geq 1}\dfrac1{n!}\lp\dfrac{-x^2}{2}\rp^n \\[1em]
&=-\dsp\sum_{n\geq 0}\dfrac1{n!}\lp\dfrac{-x^2}{2}\rp^n +1\\[1em]
&=1-\exp\lp-x^2/2\right)
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exExpSE4_c/7.png)
Correction
Soit, alors, pour tout ,
et la règle de d'Alembert montre donc que le rayon de convergence est
.
la présence de
incite à se rapprocher de la série de la fonction exponentielle, ici de . Plus précisément, en faisant attention aussi au 1er terme manquant,
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