Décomposition de Fourier d'un signal périodique parabolique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Série de FourierSérie de Fourier
Énoncé du sujet
Soit
la fonction 2
-périodique définie par
sur
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex4/1.png)
![$\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex4/2.png)
![$f(x)=x^2-\pi^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex4/3.png)
![$[-\pi;\pi[$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex4/4.png)
- Donner la série de Fourier de
.
- Étudier sa convergence
- Calculer
Correction
la fonction 2
-périodique définie par
sur
.
Correction
Soit![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex4_c/1.png)
![$\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex4_c/2.png)
![$f(x)=x^2-\pi^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex4_c/3.png)
![$[-\pi;\pi[$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex4_c/4.png)
- La fonction est 2
-périodique donc de pulsation
. De plus,
est paire, donc
, et
- sa valeur moyenne est
- Pour tout entier
, en intégrant par parties,
puis, en intégrant une deuxième fois par parties,
en utilisantet
.
La fonctionétant continue sur
, on en déduit que pour tout réel
,
- sa valeur moyenne est
- On a
, ce qui montre que la série converge absolument en tout point.
- En
, on a alors, comme
,
et donc,
Tag:Série de Fourier
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