Suite, équivalents et série


On considère la fonction $f$ donnée par:
\[f(x)=\dfrac{1-cos(x)}{x}\]

et la suite $(u_n)$ définie par $u_0\in\left]0,\dfrac\pi2\right]$ et $u_{n+1}=f\left( u_n\rp$ pour tout $n\in\N$.
  1. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction continue sur $\R$.
  2. Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_n\in]0, 1]$.
  3. Montrer que $(u_n)$ est décroissante, convergente et calculer sa limite.
  4. Montrer que $u_{n+1}\underset{n\to+\infty}{\sim}\dfrac12u_n$.
    La série de terme général $u_n$ converge-t-elle ?
  5. Pour quelles valeurs de a la série de terme général $a^n u_n$ converge-t-elle ?

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