projecteur dans le plan
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
L'application
est-elle un projecteur ? Préciser ses éléments caractéristiques.

Correction
est tout d'abord une application linéaire puisque pour
et
dans
, et
, on a
et:
![\[\begin{array}{lcl}
f(u+v)&=&\bigr( (x+x')+3(y+y'), 0\bigl)\\[.4em]
&=&\big(x+3y+x'+3y', 0\bigr)\\[.4em]
&=&(x+3y,0)+(x'+3y', 0)\\[.4em]
&=&f(u)+f(v).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exPplan_c/7.png)
et avec
,
![\[\begin{array}{lcl}
f(\lambda u)&=&(\lambda x+3\lambda y, 0)\\[.4em]
&=&\bigl(\lambda(x+3y),0\bigr)\\[.4em]
&=&\lambda(x+3y,0)\\[.4em]
&=&\lambda f(u).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exPplan_c/9.png)
Ainsi,
est un endomorphisme de
.
Un projecteur est caractérisé par
. Ici,
pour
, on a
puis,
![\[\begin{array}{ll}f^2(u)&=f(f(u))=f(X,Y)\\[.3em]
&=f(X+3Y,0)\\[.3em]
&=\bigl((x+3y)+3\tm0,0\bigr)\\[.3em]
&=(x+3y,0)\\[.3em]
&=f(u)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exPplan_c/15.png)
est donc bien un projecteur.
De plus,
et donc, en posant
![\[\ker(f)=\text{Vect}(u)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exPplan_c/19.png)
L'image est simplement
avec le vecteur
de la base canonique de
.
En résumé,
est un projecteur de
, projecteur sur
parallèlement à la droite
(d'équation
).
Correction






![\[\begin{array}{lcl}
f(u+v)&=&\bigr( (x+x')+3(y+y'), 0\bigl)\\[.4em]
&=&\big(x+3y+x'+3y', 0\bigr)\\[.4em]
&=&(x+3y,0)+(x'+3y', 0)\\[.4em]
&=&f(u)+f(v).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exPplan_c/7.png)
et avec

![\[\begin{array}{lcl}
f(\lambda u)&=&(\lambda x+3\lambda y, 0)\\[.4em]
&=&\bigl(\lambda(x+3y),0\bigr)\\[.4em]
&=&\lambda(x+3y,0)\\[.4em]
&=&\lambda f(u).
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exPplan_c/9.png)
Ainsi,


Un projecteur est caractérisé par



![\[\begin{array}{ll}f^2(u)&=f(f(u))=f(X,Y)\\[.3em]
&=f(X+3Y,0)\\[.3em]
&=\bigl((x+3y)+3\tm0,0\bigr)\\[.3em]
&=(x+3y,0)\\[.3em]
&=f(u)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exPplan_c/15.png)

De plus,


![\[\ker(f)=\text{Vect}(u)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exPplan_c/19.png)
L'image est simplement



En résumé,





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