projecteur dans le plan


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

L'application $g:\R^2\to\R^2, (x,y)\mapsto(x+3y,0)$ est-elle un projecteur ? Préciser ses éléments caractéristiques.


Correction

Correction

$f$ est tout d'abord une application linéaire puisque pour $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$ dans $\R^2$, et $\lambda\in\R$, on a $u+v=(x+x',y+y')$ et:
\[\begin{array}{lcl} f(u+v)&=&\bigr( (x+x')+3(y+y'), 0\bigl)\\[.4em] &=&\big(x+3y+x'+3y', 0\bigr)\\[.4em] &=&(x+3y,0)+(x'+3y', 0)\\[.4em] &=&f(u)+f(v). \enar\]

et avec $\lambda u=(\lambda x,\lambda y)$,
\[\begin{array}{lcl} f(\lambda u)&=&(\lambda x+3\lambda y, 0)\\[.4em] &=&\bigl(\lambda(x+3y),0\bigr)\\[.4em] &=&\lambda(x+3y,0)\\[.4em] &=&\lambda f(u). \enar\]

Ainsi, $f$ est un endomorphisme de $\R^2$.

Un projecteur est caractérisé par $f\circ f=f$. Ici, pour $u=(x,y)$, on a $f(u)=(x+3y,0)=(X,Y)$ puis,
\[\begin{array}{ll}f^2(u)&=f(f(u))=f(X,Y)\\[.3em] &=f(X+3Y,0)\\[.3em] &=\bigl((x+3y)+3\tm0,0\bigr)\\[.3em] &=(x+3y,0)\\[.3em] &=f(u)\enar\]


$f$ est donc bien un projecteur.
De plus, $f(x,y)=(3x+y,0)=(0,0)\iff y=-3x$ et donc, en posant $u=(1,-3)$
\[\ker(f)=\text{Vect}(u)\]


L'image est simplement $\text{Im}(f)=\text{vect}(e_1)$ avec le vecteur $e_1=(1,0)$ de la base canonique de $\R^2$.

En résumé, $f$ est un projecteur de $\R^2$, projecteur sur $\text{vect}(e_1)$ parallèlement à la droite $\text{vect}{u}$ (d'équation $y=-3x$).


Tags:ProjecteursApplications linéaires

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