Indice de nilpotence maximal dans un espace de dimension fini
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
un endomorphisme non nul d'un espace de dimension fini
.
On suppose
nilpotent d'indice
, i.e.
et
.
Montrer qu'il existe
tel que la famille
est libre.
En déduire que
.






Montrer qu'il existe


En déduire que

Correction
ce qui signifie justement
qu'il existe
tel que
.
On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit
,
, … ,
tels que
![\[\lambda_0x_0+\lambda_1f\left( x_0\rp+\lambda_2f^2\left( x_0\rp+\dots+\lambda_{p-1}f^{p-1}\left( x_0=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/7.png)
Comme
, et donc aussi
pour tout
,
en appliquant
à la combinaison précédente, on obtient
.
Comme on a choisit
tel que
, on a donc nécessairement
.
En appliquant de même
à la combinaison,
on obtient maintenant, avec
,
et donc, de même que précédemment,
.
En réitérant, on obtient donc successivement
,
ce qui montre que la famille
est libre.
Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence
vérifie
.
Comme cette famille est libre dans un espace de dimension
, elle contient nécessairement moins de
vecteurs.
Comme elle est composée de
vecteurs, on a donc
et alors, comme on l'a remarqué précédemment,
pour tout
; en particulier
.
Correction
Par définition,


On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit



![\[\lambda_0x_0+\lambda_1f\left( x_0\rp+\lambda_2f^2\left( x_0\rp+\dots+\lambda_{p-1}f^{p-1}\left( x_0=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/7.png)
Comme





Comme on a choisit



En appliquant de même




En réitérant, on obtient donc successivement


Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence


Comme cette famille est libre dans un espace de dimension







Tag:Espace vectoriel
Autres sujets au hasard:

Voir aussi: