Indice de nilpotence maximal dans un espace de dimension fini
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
un endomorphisme non nul d'un espace de dimension fini
.
On suppose
nilpotent d'indice
, i.e.
et
.
Montrer qu'il existe
tel que la famille
est libre.
En déduire que
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/1.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/2.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/3.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/4.png)
![$f^{p-1}\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/5.png)
![$f^p=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/6.png)
Montrer qu'il existe
![$x_0\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/7.png)
![$\left( x_0, f\left( x_0\rp, f^2\left( x_0\rp, \dots , f^{p-1}\left( x_0\rp\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/8.png)
En déduire que
![$f^n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil/9.png)
Correction
ce qui signifie justement
qu'il existe
tel que
.
On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit
,
, … ,
tels que
![\[\lambda_0x_0+\lambda_1f\left( x_0\rp+\lambda_2f^2\left( x_0\rp+\dots+\lambda_{p-1}f^{p-1}\left( x_0=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/7.png)
Comme
, et donc aussi
pour tout
,
en appliquant
à la combinaison précédente, on obtient
.
Comme on a choisit
tel que
, on a donc nécessairement
.
En appliquant de même
à la combinaison,
on obtient maintenant, avec
,
et donc, de même que précédemment,
.
En réitérant, on obtient donc successivement
,
ce qui montre que la famille
est libre.
Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence
vérifie
.
Comme cette famille est libre dans un espace de dimension
, elle contient nécessairement moins de
vecteurs.
Comme elle est composée de
vecteurs, on a donc
et alors, comme on l'a remarqué précédemment,
pour tout
; en particulier
.
Correction
Par définition,![$f^{p-1}\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/1.png)
![$x_0\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/2.png)
![$f^{p-1}\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/3.png)
On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit
![$\lambda_0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/4.png)
![$\lambda_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/5.png)
![$\lambda_{p-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/6.png)
![\[\lambda_0x_0+\lambda_1f\left( x_0\rp+\lambda_2f^2\left( x_0\rp+\dots+\lambda_{p-1}f^{p-1}\left( x_0=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/7.png)
Comme
![$f^p=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/8.png)
![$f^k=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/9.png)
![$k\geqslant p$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/10.png)
![$f^{p-1}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/11.png)
![$\lambda_0f^{p-1}\left( x_0\rp=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/12.png)
Comme on a choisit
![$x_0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/13.png)
![$f^{p-1}\left( x_0\rp\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/14.png)
![$\lambda_0=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/15.png)
En appliquant de même
![$f^{p-2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/16.png)
![$\lambda_0=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/17.png)
![$\lambda_1f^{p-1}\left( x_0\rp=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/18.png)
![$\lambda_1=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/19.png)
En réitérant, on obtient donc successivement
![$\lambda_0=\lambda_1=\dots=\lambda_{p-1}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/20.png)
![$\left( x_0, f\left( x_0\rp, f^2\left( x_0\rp, \dots , f^{p-1}\left( x_0\rp\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/21.png)
Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/22.png)
![$p\leqslant n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/23.png)
Comme cette famille est libre dans un espace de dimension
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/24.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/25.png)
![$p$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/26.png)
![$p\leqslant n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/27.png)
![$f^k=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/28.png)
![$k\geqslant p$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/29.png)
![$f^n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/30.png)
Tag:Espace vectoriel
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)