Calculer l'intégrale …

Colle de mathématiques

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Calculer l'intégrale $\dsp\int_0^{\frac\pi2} x\sin^3 x\,dx$

Correction

Avec la formule d'Euler pour linéariser le $\sin^3$ , $\sin^3x=\lp\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\rp^3 =\dfrac{e^{3ix}-e^{-3ix}-3e^{2ix}+3e^{-ix}}{-8i}$ ,
et on peut continuer les calculs avec les complexes, en utilisant

$\begin{array}{ll} \dsp\int_0^{\frac\pi2}xe^{\alpha x}\,dx &\dsp=\Bigl[ \dfrac1\alpha xe^{\alpha x}\Bigr]_0^{\frac\pi2} -\dfrac1\alpha\int_0^{\frac\pi2}e^{\alpha x}\,dx\\[1em] &\dsp=\dfrac{\pi}{2\alpha}e^{\frac{\alpha\pi}{2}} -\dfrac{1}{\alpha^2}\left( e^{\frac{\alpha\pi}{2}}-1\right) \enar$

… d'où …

$\int_0^{\frac\pi2} x\sin^3 x\,dx=\dfrac79$

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