Calculer l'intégrale …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Calculer l'intégrale
![$\dsp\int_3^4 \dfrac{1}{3x^2-2x-1}\,dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6/1.png)
Correction
![\[\dfrac{1}{3x^2-2x-1}=\dfrac{1}{(x-1)(3x+1)}
=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{3x+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/1.png)
et, en multipliant par
, puis en faisant
,
on trouve
,
et de même, en multipliant par
et en faisant
on trouve
,
soit, en résumé,
![\[\dfrac{1}{3x^2-2x-1}
=\dfrac14\tm\dfrac{1}{x-1}-\dfrac34\tm\dfrac{1}{3x+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/8.png)
et alors,
![\[\begin{array}{ll}
\dsp\int_3^4\dfrac{1}{3x^2-2x-1}dx
&=\dsp\dfrac14\int_3^4\dfrac{1}{x-1}dx
-\dfrac34\int_3^4\dfrac{1}{3x+1}dx\\[1.2em]
&=\dfrac14\Bigl[\,\ln|x-1|\,\Bigr]_3^4
-\dfrac34\Bigl[\,\dfrac13\ln|3x+1|\,\Bigr]_3^4\\[1.2em]
&=\dfrac14\ln\lp\dfrac32\rp-\dfrac14\ln\lp\dfrac{13}{10}\rp\\[1.2em]
&=\dfrac14\ln\lp\dfrac{3\tm10}{2\tm13}\right)
=\dfrac14\ln\lp\dfrac{15}{13}\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/9.png)
Correction
On a, en décomposnt en éléments simples,![\[\dfrac{1}{3x^2-2x-1}=\dfrac{1}{(x-1)(3x+1)}
=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{3x+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/1.png)
et, en multipliant par
![$(x-1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/2.png)
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/3.png)
![$a=\dfrac14$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/4.png)
![$(3x+1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/5.png)
![$x=-\dfrac13$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/6.png)
![$b=-\dfrac34$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/7.png)
![\[\dfrac{1}{3x^2-2x-1}
=\dfrac14\tm\dfrac{1}{x-1}-\dfrac34\tm\dfrac{1}{3x+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/8.png)
et alors,
![\[\begin{array}{ll}
\dsp\int_3^4\dfrac{1}{3x^2-2x-1}dx
&=\dsp\dfrac14\int_3^4\dfrac{1}{x-1}dx
-\dfrac34\int_3^4\dfrac{1}{3x+1}dx\\[1.2em]
&=\dfrac14\Bigl[\,\ln|x-1|\,\Bigr]_3^4
-\dfrac34\Bigl[\,\dfrac13\ln|3x+1|\,\Bigr]_3^4\\[1.2em]
&=\dfrac14\ln\lp\dfrac32\rp-\dfrac14\ln\lp\dfrac{13}{10}\rp\\[1.2em]
&=\dfrac14\ln\lp\dfrac{3\tm10}{2\tm13}\right)
=\dfrac14\ln\lp\dfrac{15}{13}\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exC6_c/9.png)
Tag:Intégrale
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