Matrice d'une projection orthogonale - Distance à un sous-espace
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit
muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique
.
On considère
le sous-espace vectoriel défini par les équations
![\[\la\begin{array}{rcl}
x_1+x_2&=&0\\
x_3+x_4&=&0.
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex4/4.png)


On considère

![\[\la\begin{array}{rcl}
x_1+x_2&=&0\\
x_3+x_4&=&0.
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex4/4.png)
- Déterminer une base orthonormale de
.
- Déterminer la matrice dans
de la projection orthogonale
sur
.
- Soit
un élément de
. Déterminer la distance de
à
.
Correction
Correction
- On commence par trouver une base de
. Mais on a
On en déduit queest une base de
. Ces deux vecteurs sont déjà orthogonaux, il suffit de les normaliser. Si on pose
,
, alors
est une base orthonormale de
.
- On calcule
par
On en déduit que la matrice dedans la base canonique est
- On sait que
.
Avec, on a
et donc
Il vient
Tags:Espaces euclidiensProjecteursMatrices
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