Matrice d'une projection orthogonale - Distance à un sous-espace
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
- ProjecteursProjecteurs dans des espaces vectoriels
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Soit muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique .
On considère le sous-espace vectoriel défini par les équations
On considère le sous-espace vectoriel défini par les équations
- Déterminer une base orthonormale de .
- Déterminer la matrice dans de la projection orthogonale sur .
- Soit un élément de . Déterminer la distance de à .
Correction
Correction
- On commence par trouver une base de . Mais on a
On en déduit que est une base de . Ces deux vecteurs sont déjà orthogonaux, il suffit de les normaliser. Si on pose , , alors est une base orthonormale de .
- On calcule par
On en déduit que la matrice de dans la base canonique est
- On sait que .
Avec , on a
et donc
Il vient
Tags:Espaces euclidiensProjecteursMatrices
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