Probabilités avec une densité

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit la fonction $f:x\in\R\mapsto\la\begin{array}{ll}0 &\text{ si } x<2\\ \dfrac{a}{x\ln^2(x)} &\text{ si } x\geq2\enar\right.$

Déterminer pour cette fonction soit la densité de probabilité d'une variable aléatoire .
Déterminer la fonction de répartition de .
Calculer les probabilités $P(0\leq X\leq4)$ et $P(X\geq 8)$ .

Correction

- est continue et dérivable sur $\R$ , sauf en un nombre fini de points, ici sauf en 2.
- est positive sur $\R$ .
- Il reste à montrer que $\int_\R f$ converge et vaut 1.
  On a
  
  $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_2^{+\infty}\dfrac{a}{x\ln^2(x)}dx$
  
  avec continue sur $[2;+\infty[$ et donc il suffit d'étudier la convergence de l'intégrale généralisée en $+\infty$ . On connaît une primitive de cette fonction
  
  $\int_2^A\dfrac1{x\ln^2(x)}dx= \lb-\dfrac1{\ln(x)}\rb_2^A =-\dfrac1{\ln(A)}+\dfrac1{\ln(2)}$
  
  et donc l'intégrale est convergente avec
  
  $\int_2^{+\infty}\dfrac{a}{x\ln^2(x)}dx=\dfrac{a}{\ln(2)}$
  
  et on doit donc avoir $a=\ln(2)$ pour que la valeur de cette intégrale soit 1.
Le calcul précédent donne aussi la fonction de répartition.
Pour $x\leq 2$ , on a , et pour ,

$\begin{array}{ll}F_X(x)&=P(X\leq x)\\[.6em] &=\dsp\int_{-\infty}^x f(x)dx\\ &=\dsp\ln(2)\int_2^x\dfrac1{x\ln^2(x)}dx\\[1.2em] &=\ln(2)\lb-\dfrac1{\ln(x)}\rb_2^x\\[1em] &=-\dfrac{\ln(2)}{\ln(x)}+1\enar$
En utilisant la fonction de répartition, on a

$P(0\leq X\leq2)=F_X(2)-F_X(0)= 1-\dfrac{\ln(2)}{\ln(4)}$

soit, avec $\ln(4)=2\ln(2)$ ,

$P(0\leq X\leq2)=\dfrac12$

De même,

$P(X\geq8)=1-F_X(8)=\dfrac{\ln(2)}{\ln(8)}=\dfrac13$

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