Probabilités avec une densité
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Soit la fonction
- Déterminer pour cette fonction soit la densité de probabilité d'une variable aléatoire .
- Déterminer la fonction de répartition de .
- Calculer les probabilités et .
Correction
Correction
-
- est continue et dérivable sur , sauf en un nombre fini de points, ici sauf en 2.
- est positive sur .
- Il reste à montrer que
converge et vaut 1.
On a
avec continue sur et donc il suffit d'étudier la convergence de l'intégrale généralisée en . On connaît une primitive de cette fonction
et donc l'intégrale est convergente avec
et on doit donc avoir pour que la valeur de cette intégrale soit 1.
- Le calcul précédent donne aussi la fonction de répartition.
Pour , on a , et pour ,
- En utilisant la fonction de répartition, on a
soit, avec ,
De même,
Tag:Variables aléatoires continues
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