Convergence d'une intégrale, IPP
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Montrer que l'intégrale 
converge et calculer sa valeur.
converge et calculer sa valeur.
Correction
est continue sur 
et l'intégrale existe sur tout segment ![$[1;A]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/convergence-IPP_c/3.png)
pour tout réel 
.
Il reste à étudier la convergence en
.
On a
![\[\lim_{x\to+\infty}x^{3/2}\dfrac{\ln(x)}{x^2}
=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^{1/2}}
=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/convergence-IPP_c/6.png)
par croissances comparées, ce qui montre que
![\[\dfrac{\ln(x)}{x^2}=o\lp\dfrac1{x^{3/2}}\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/convergence-IPP_c/7.png)
et donc que l'intégrale est convergente en
d'après le critère
de Riemann.
Pour calculer cette intégrale, on peut penser à une intégration par parties pour enlever le logarithme en le dérivant,
![\[\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_1^{+\infty}\ln(x)\dfrac1{x^2}\,dx\\[1em]
&=\Bigl[\ln(x)\lp-\dfrac1x\rp\Bigr]_1^{+\infty}
-\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac1x\lp-\dfrac1x\rp\,dx\\[1.2em]
&=0+\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac1{x^2}\,dx
=\Bigl[-\dfrac1x\Bigr]_1^{+\infty}
=1
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/convergence-IPP_c/9.png)
Correction
La fonction est continue sur
et l'intégrale existe sur tout segment pour tout réel .
Il reste à étudier la convergence en
.
On a
par croissances comparées, ce qui montre que
et donc que l'intégrale est convergente en
d'après le critère
de Riemann.
Pour calculer cette intégrale, on peut penser à une intégration par parties pour enlever le logarithme en le dérivant,
Tag:Intégrale
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