Inverse d'une matrice 3x3 par le pivot de Gauss-Jordan
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
En utilisant l'algorithme du pivot de Gauss-Jordan, calculer l'inverse
de la matrice
.

Correction
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}2&1&-1 &1&0&0\\1&-2&2 &0&1&0\\1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/1.png)
On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par
,
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.6em]
1&-2&2 &0&1&0\\
1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/3.png)
puis
et
pour obtenir
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em]
0&-\dfrac52&\dfrac52 &-\dfrac12&1&0\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/6.png)
on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em]
0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/8.png)
puis
et
pour obtenir
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em]
0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/11.png)
enfin,
donne
![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&1&0 &0&-1&1\\[.8em]
0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/13.png)
et on trouve donc la matrice inverse
![\[A^{-1}=
\lb\begin{array}{rrr}
\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&-1&1\\[.8em]
-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\right]
=\dfrac15
\lb\begin{array}{rrr}
2&1&0\\[.8em]
0&-5&5\\[.8em]
-1&-3&5\enar\right]
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/14.png)
Correction
On écrit la matrice augmentée avec l'identité![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}2&1&-1 &1&0&0\\1&-2&2 &0&1&0\\1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/1.png)
On ramène le pivot de la 1ère ligne à 1 par

![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.6em]
1&-2&2 &0&1&0\\
1&-1&2 &0&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/3.png)
puis


![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em]
0&-\dfrac52&\dfrac52 &-\dfrac12&1&0\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/6.png)
on ramène le pivot de la deuxième ligne à 1 par

![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&\dfrac12&-\dfrac12 &\dfrac12&0&0\\[.8em]
0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em]
0&-\dfrac32&\dfrac52 &-\dfrac12&0&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/8.png)
puis


![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&1&-1 &\dfrac15&-\dfrac25&0\\[.8em]
0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/11.png)
enfin,

![\[\lb\begin{array}{rrr|rrr}
1&0&0 &\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&1&0 &0&-1&1\\[.8em]
0&0&1 &-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\rb\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/13.png)
et on trouve donc la matrice inverse
![\[A^{-1}=
\lb\begin{array}{rrr}
\dfrac25&\dfrac15&0\\[.8em]
0&-1&1\\[.8em]
-\dfrac15&-\dfrac35&1\enar\right]
=\dfrac15
\lb\begin{array}{rrr}
2&1&0\\[.8em]
0&-5&5\\[.8em]
-1&-3&5\enar\right]
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/inverse-GJ-2_c/14.png)
Tag:Matrices
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