Décomposition en série de Fourier


Colle de mathématiques

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Soit $F$ la fonction créneau, $2\pi$-périodique: $\la\begin{array}{l} F(t)=1 \text{ pour } t\in[0;\pi[ \\ F(t)=-1 \text{ pour } t\in [\pi;2\pi[\enar\right.$.
Étudier la série de Fourier de $F$.


Correction

Correction

$F$ est $2\pi$-périodique et impaire, et ainsi $a_n=0$.
Par ailleurs, pour tout entier $n$, avec $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$,
\[b_n=\dfrac4\pi\int_0^\pi f(x)\sin(n\omega x)dx =\dfrac4\pi\int_0\pi\sin(nx)dx =\dfrac4\pi\Bigl[ -\dfrac1n\cos(nx)\Bigr]_0^\pi =\dfrac{4}{n\pi}\left( 1-\cos(n\pi)\rp\]

ou encore, comme $\cos(n\pi)=(-1)^n$, on obtient $b_{2n}=0$ et $b_{2n+1}=\dfrac{8}{(2n+1)\pi}$ et alors pour tout $x\not=k\pi$, $k\in\Z$,
\[f(x)=\dfrac8\pi\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\sin((2n+1)x)}{2n+1}\]



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