Décomposition en série de Fourier
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Série de FourierSérie de Fourier
Énoncé du sujet
Soit
la fonction créneau,
-périodique:
.
Étudier la série de Fourier de
.
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0/1.png)
![$2\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0/2.png)
![$\la\begin{array}{l} F(t)=1 \text{ pour } t\in[0;\pi[ \\
F(t)=-1 \text{ pour } t\in [\pi;2\pi[\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0/3.png)
Étudier la série de Fourier de
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0/4.png)
Correction
est
-périodique et impaire, et ainsi
.
Par ailleurs, pour tout entier
,
avec
,
![\[b_n=\dfrac4\pi\int_0^\pi f(x)\sin(n\omega x)dx
=\dfrac4\pi\int_0\pi\sin(nx)dx
=\dfrac4\pi\Bigl[ -\dfrac1n\cos(nx)\Bigr]_0^\pi
=\dfrac{4}{n\pi}\left( 1-\cos(n\pi)\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/6.png)
ou encore, comme
,
on obtient
et
et alors
pour tout
,
,
![\[f(x)=\dfrac8\pi\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\sin((2n+1)x)}{2n+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/12.png)
Correction
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/1.png)
![$2\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/2.png)
![$a_n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/3.png)
Par ailleurs, pour tout entier
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/4.png)
![$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/5.png)
![\[b_n=\dfrac4\pi\int_0^\pi f(x)\sin(n\omega x)dx
=\dfrac4\pi\int_0\pi\sin(nx)dx
=\dfrac4\pi\Bigl[ -\dfrac1n\cos(nx)\Bigr]_0^\pi
=\dfrac{4}{n\pi}\left( 1-\cos(n\pi)\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/6.png)
ou encore, comme
![$\cos(n\pi)=(-1)^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/7.png)
![$b_{2n}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/8.png)
![$b_{2n+1}=\dfrac{8}{(2n+1)\pi}$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/9.png)
![$x\not=k\pi$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/10.png)
![$k\in\Z$](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/11.png)
![\[f(x)=\dfrac8\pi\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\sin((2n+1)x)}{2n+1}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex0_c/12.png)
Tag:Série de Fourier
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