Familles libres ou non ?


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Dans $\R^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres?
  1. $(e_1,2e_2,e_3)$
  2. $(e_1,e_3)$
  3. $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$
  4. $(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$



Correction

Correction

  1. Soit une combinaison linéaire nulle:
    \[ae_1+b(2e_2)+ce_3=0\iff ae_1+(2b)e_2+ce_3+0e_4=0\]

    Alors puisque la famille $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est libre, on en déduit que $a=2b=c=0$, soit $a=b=c=0$. La famille est donc libre.
  2. On peut procéder de même que précédemment et retrouver, ou invoquer directement, la propriété: une famille extraite d'une famille libre est aussi libre.
  3. Soit une combinaison linéaire nulle:
    \[ae_1+b(2e_1+e_4)+c(e_3+e_4)=0\iff (a+2b)e_1+ce_3+(b+c)e_4=0.\]

    Puisque la famille $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est libre, ceci entraine que
    \[\la\bbgar{rcl} a+2b&=&0\\ c&=&0\\ b+c&=&0 \enar\right.\]

    d'où on obtient que $a=b=c=0$. La famille $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$ est donc libre.
  4. On peut remarquer que
    \[7e_1-4e_2=2(2e_1+e_2)+3(e_1-2e_2)\]

    et donc la famille n'est pas libre.

    On pouvait bien sûr aussi prendre la même méthode que précedemment et écrire une combinaison linéaire nulle, pour trouver, cette fois, des coefficients pas nécessairement nuls.


Tag:Espace vectoriel

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