Endomorphisme dérivation


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit
\[E=\left\{ x\mapsto (a+bx)e^{2x}+(c+dx)e^{-2x}\,;\ \text{avec } a, b, c, d \in\R\right\}\]

  1. Montrer que $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et en donner une base $\mathcal{B}$.
  2. Soit $D$ une application qui associe à toute fonction de $E$ sa dérivée.
    Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$.
    Écrire la matrice $M$ de $D$ dans la base $B$.
    Montrer que $M$ est inversible et calculer son inverse.
  3. Montrer que toute fonction $f$ de $E$ admet une primitive dans $E$, et en donner une expression.



Correction

Correction

Oral ENSAE - Saclay - 2019

  1. Soit $f_1:x\mapsto e^{2x}$, $f_2:x\mapsto xe^{2x}$, $f_3:x\mapsto e^{-2x}$, et $f_4:x\mapsto xe^{-2x}$, alors $E=\text{Vect}\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} f_1, f2, f3, f4 \ra $ et donc $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\R,\R)$,
    Il reste à montrer que la famille de ces quatre fonctions est libre, donc une base.
    Soit $a$, $b$ , $c$ et $d$ quatre réels tels que
    \[af_1+bf_2+cf_3+df_4=0\]

    c'est-à-dire,
    \[\forall x\in\R, \ ae^{2x}+bxe^{2x}+ce^{-2x}+dxe^{-2x}=0\]

    En prenant par exemple $x=0$, on obtient $a+c=0\iff a=-c$.
    En factorisant par $xe^{2x}$ pour $x\not=0$, on a
    \[\dfrac{a}x+b+\dfrac{c}xe^{-4x}+de^{-4x}=0\]

    puis en prenant la limite $x\to+\infty$, on obtient $b=0$.
    De même en factorisant par $xe^{-2x}$ pour $x\not=0$, on a
    \[\dfrac{a}xe^{4x}+be^{4x}+\dfrac{c}x+d=0\]

    et la limite cette fois $x\to-\infty$ donne alors $d=0$. On a donc maintenant
    \[\forall x\in\R, ae^{2x}+ce^{-2x}=ae^{2x}-ae^{-2x}=0 \iff a\left( e^{2x}-e^{-2x}\rp=0\]

    Il suffit de prendre $x=1$ pour obtenir $a=0$ donc $c=-a=0$.

    Finalement, on vient de montrer que la famille $\mathcal{B}=\left( f_1, f_2, f_3, f4\rp$ est libre, et comme elle est aussi génératrice, c'est une base de $E$.
  2. On a
    \[D\left( f_1\rp=2f_1\in E\]


    \[D\left( f_2\rp=f_1+2f_2\in E\]


    \[D\left( f_3\rp=-2f_3\in E\]


    \[D\left( f_4\rp=f_3-2f_4\in E\]

    et, comme la dérivation $D$ est linéaire, c'est aussi un endomorphisme de $E$.
    Dans la base $\mathcal{B}$, on a donc la matrice
    \[M=\lp\begin{array}{cccc} 2&1& 0& 0\\ 0&2& 0& 0\\ 0&0&-2& 1\\ 0&0& 0&-2\enar\rp\]

    Le rang de $M$ est 4, donc $M$ est inversible, avec, après calculs
    \[M^{-1}=\lp\begin{array}{cccc} 1/2&-1/4& 0& 0\\ 0&1/2& 0& 0\\ 0&0&-1/2& -1/4\\ 0&0& 0&-1/2\enar\rp\]

  3. D'après ce qui précède, $D$ est bijective de $E$ dans $E$, et en particulier toute fonction $f$ de $E$ admet un unique antécédent par $D$ dans $E$, qui est donc une primitive de $f$.
    Soit $f=af_1+bf_2+cf_3+df_4$, alors la primitive de $f$ dans $E$ est
    \[\begin{array}{ll}D^{-1}(f)&=M^{-1}\lp\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\enar\rp\\[2.6em] &=\lp\begin{array}{c}\dfrac12a-\dfrac14b\\\dfrac12b\\-\dfrac12c-\dfrac14d\\-\dfrac12d\enar\right) \enar\]

    ou encore, la primitive dans $E$ de
    \[f:x\mapsto ae^{2x}+bxe^{2x}+ce^{-2x}+dxe^{-2x}\]

    est
    \[F:x\mapsto \lp\dfrac12a-\dfrac14b\right) e^{2x} +\dfrac12bxe^{2x} -\lp\dfrac12c+\dfrac14d\right) e^{-2x} -\dfrac12dxe^{-2x}\]



Tags:Applications linéairesEspace vectoriel

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