Endomorphisme dérivation
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
- Montrer que est un -espace vectoriel de dimension finie et en donner une base .
- Soit une application qui associe à toute fonction de sa dérivée.
Montrer que est un endomorphisme de .
Écrire la matrice de dans la base .
Montrer que est inversible et calculer son inverse. - Montrer que toute fonction de admet une primitive dans , et en donner une expression.
Correction
Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019- Soit
,
,
,
et
,
alors
et donc
est un sous-espace vectoriel de ,
Il reste à montrer que la famille de ces quatre fonctions est libre, donc une base.
Soit , , et quatre réels tels que
c'est-à-dire,
En prenant par exemple , on obtient .
En factorisant par pour , on a
puis en prenant la limite , on obtient .
De même en factorisant par pour , on a
et la limite cette fois donne alors . On a donc maintenant
Il suffit de prendre pour obtenir donc .
Finalement, on vient de montrer que la famille est libre, et comme elle est aussi génératrice, c'est une base de . - On a
et, comme la dérivation est linéaire, c'est aussi un endomorphisme de .
Dans la base , on a donc la matrice
Le rang de est 4, donc est inversible, avec, après calculs
- D'après ce qui précède, est bijective de dans , et en particulier toute fonction de admet un unique antécédent par dans , qui est donc une primitive de .
Soit , alors la primitive de dans est
ou encore, la primitive dans de
est
Tags:Applications linéairesEspace vectoriel
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