Endomorphisme dérivation


Soit
\[E=\left\{ x\mapsto (a+bx)e^{2x}+(c+dx)e^{-2x}\,;\ \text{avec } a, b, c, d \in\R\right\}\]

  1. Montrer que $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et en donner une base $\mathcal{B}$.
  2. Soit $D$ une application qui associe à toute fonction de $E$ sa dérivée.
    Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$.
    Écrire la matrice $M$ de $D$ dans la base $B$.
    Montrer que $M$ est inversible et calculer son inverse.
  3. Montrer que toute fonction $f$ de $E$ admet une primitive dans $E$, et en donner une expression.

Correction


Tags:Applications linéairesEspace vectoriel

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