Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants


Colle de mathématiques

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Résoudre $y''-4y'+3y=\sin(2x)$


Correction

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L'équation homogène associée $y''-4y'+3y=0$ a pour équation caractéristique $r^2-4r+3=0$ de racines $r=1$ et $r=3$, et donc pour solutions $y(x)=Ae^x+Be^{3x}$, $(A,B)\in\R^2$.
On peut rechercher une solution particulière sour la forme $y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$, pour laquelle $y''(x)-4y'(x)+3y(x)=(-a-8b)\cos(2x)+(-b+8a)\sin(2x)$. On obtient ainsi une solution particulière en choisissant $\la\begin{array}{l}-a-8b=0\\8a-b=1\enar\right. \iff \la\begin{array}{l}a=\dfrac{8}{65}\\b=-\dfrac{1}{65}\enar\right.$.
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $x\mapsto Ae^x+Be^{3x}+\dfrac{8}{65}\sin(2x)-\dfrac{8}{65}\cos(2x)$.


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