Équation différentielle - 2nd ordre, coefficients constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre
![$y''-4y'+3y=\sin(2x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8/1.png)
Correction
a pour équation caractéristique
de racines
et
, et donc pour
solutions
,
.
On peut rechercher une solution particulière sour la forme
,
pour laquelle
.
On obtient ainsi une solution particulière en choisissant
.
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
.
Correction
L'équation homogène associée![$y''-4y'+3y=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/1.png)
![$r^2-4r+3=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/2.png)
![$r=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/3.png)
![$r=3$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/4.png)
![$y(x)=Ae^x+Be^{3x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/5.png)
![$(A,B)\in\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/6.png)
On peut rechercher une solution particulière sour la forme
![$y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/7.png)
![$y''(x)-4y'(x)+3y(x)=(-a-8b)\cos(2x)+(-b+8a)\sin(2x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/8.png)
![$\la\begin{array}{l}-a-8b=0\\8a-b=1\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}a=\dfrac{8}{65}\\b=-\dfrac{1}{65}\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/9.png)
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
![$x\mapsto Ae^x+Be^{3x}+\dfrac{8}{65}\sin(2x)-\dfrac{8}{65}\cos(2x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex8_c/10.png)
Tag:Équation différentielle
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