Loi géométrique est sans mémoire

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires discrètesVariables aléatoires discrètes

Énoncé du sujet

Une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\N$ est dite sans mémoire si, pour tous $n,m\in\N$ ,

$P_{(Y>n)}(Y>n+m)=P(Y>m)$

Montrer que si

suit une loi géométrique alors

est sans mémoire.
Interpréter ce résultat en considérant une suite d'épreuves répétées.

Correction

On a $P(Y=n)=p(1-p)^{n-1}$ et donc (c'est aussi du cours, mais il faut savoir le (re)démontrer)

$\begin{array}{ll} P(Y>n)&=\dsp\sum_{k>n}p(1-p)^{k-1}\\ &=p(1-p)^n\dsp\sum_{k=0}^{+\infty}(1-p)^k\\ &=p(1-p)^n\dfrac1{1-(1-p)}\\[1em] &=(1-p)^n\enar$

et alors,

$\begin{array}{ll}P_{(Y>n)}(Y>n+m) &=\dfrac{P\Bigl( \left( Y>n+m\rp\cap\left( Y>n\rp\Bigr)}{P\left( Y>n\rp}\\[1.2em] &=\dfrac{P\left( Y>n+m\right)}{P\left( Y>n\right)}\\[1.2em] &=\dfrac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^n}\\[1em] &=(1-p)^m\\[.8em] &=P(Y>m)\enar$

est la probabilité d'obtenir le premier succès au k-ième essai lors de la répétition d'épreuves de Bernoulli.
Cette propriété "sans mémoire" s'interprète alors par: après