Décomposition en éléments simples et somme télescopique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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  1. Décomposer en éléments simples $\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)}$.
  2. En déduire une expression de la somme $s_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1(k+2)}$ et sa limite.



Correction

Correction

  1. Tous les poles sont simples et donc
    \[\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)} =\dfrac{a}{X}+\dfrac{b}{X+1}+\dfrac{c}{X+2} \]


    En multipliant par $X$, puis en faisant $X=0$, on obtient $a=\dfrac12$.
    De même en multipliant par $X+1$, puis en faisant $X=-1$, on obtient $b=-1$.
    Enfin, en multipliant par $X+2$, puis en faisant $X=-2$, on obtient $c=\dfrac12$.
    Ainsi,
    \[\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)} =\dfrac12\tm\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{X+1}+\dfrac12\tm\dfrac{1}{X+2} \]



  2. \[\begin{array}{ll} s_n&\dsp=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1(k+2)}\\[1.5em] &\dsp=\dfrac12\sum_{k=1}^n\dfrac1k -\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k+1} +\dfrac12\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k+2}\\[1.5em] &\dsp=\dfrac12\sum_{k=1}^n\dfrac1k -\sum_{k=2}^{n+1}\dfrac{1}{k} +\dfrac12\sum_{k=3}^{n+2}\dfrac{1}{k} \enar\]

    Les termes sommés entre $k=3$ et $k=n$ se téléscopent, laissant alors
    \[\begin{array}{ll} s_n&=\dfrac12\lp1+\dfrac12\right) -\lp\dfrac12+\dfrac{1}{n+1}\right) +\dfrac12\left( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\rp\\[1.5em] &=\dfrac14-\dfrac12\tm\dfrac{1}{n+1}+\dfrac12\tm\dfrac{1}{n+2} \enar\]

    On trouve alors aussi que $\dsp\lim_{n\to+\infty}s_n=\dfrac14$.


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