Suite non bornée divergente ?


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $(u_n)$ une suite positive non bornée. Est-ce que, nécessairement, $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ ?


Correction

Correction

Non, par exemple, $(u_n)$ telle que $u_{2n}=n$ et $u_{2n+1}=0$.
Clairement $(u_n)$ n'est pas bornée, car pour tout entier $M$, $u_{2n}>M$ dès que $n>M$, mais on n'a pas $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ à cause des termes de rang impair.

La réciproque par contre est vraie: si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ alors $(u_n)$ n'est pas bornée.


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