Décomposition en éléments simples (bis)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Décomposer en éléments simples

Correction
il y a une partie entière de degré nul, donc une constante,
et alors
![\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}
=a+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{(X-1)^2}+\dfrac{d}{(X-1)^3}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples2_c/2.png)
En faisant tendre
vers
, on trouve
.
En multipliant par
puis en faisant
,
on obtient
, soit
![\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}
=1+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{(X-1)^2}+\dfrac{2}{(X-1)^3}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples2_c/9.png)
On peut alors prendre deux valeurs particulières pour
,
par exemple:
donne
donne
On trouve ainsi
,
soit
![\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}
=1+\dfrac{3}{X-1}+\dfrac{3}{(X-1)^2}+\dfrac{2}{(X-1)^3}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples2_c/16.png)
Correction
Comme
![\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}
=a+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{(X-1)^2}+\dfrac{d}{(X-1)^3}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples2_c/2.png)
En faisant tendre



En multipliant par



![\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}
=1+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{(X-1)^2}+\dfrac{2}{(X-1)^3}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples2_c/9.png)
On peut alors prendre deux valeurs particulières pour





On trouve ainsi

![\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}
=1+\dfrac{3}{X-1}+\dfrac{3}{(X-1)^2}+\dfrac{2}{(X-1)^3}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Polynomes/exEltSimples2_c/16.png)
Tag:Polynôme
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