Intégrale avec bornes variables
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Soit la fonction définie par
.
- Quel est le domaine de définition de ? est-elle paire ? impaire ?
- Étudier les variations de . admet-elle une limite en l'infini ? si oui, laquelle ?
Correction
Correction
- Pour tout réel , on a , et
est donc définie et continue sur ,
tout comme .
Pour tout réel , on a
soit aussi, en posant ,
ce qui montre que est impaire.
- On pose
alors est dérivable sur avec .
On a alors aussi et donc , soit
Le dénominateur est toujours strictement positif, et le numérateur est du second degré, s'annulant en .
On trouve donc que est décroissante sur et sur , et croissante sur .
On sait donc que est décroissante sur ; comme elle y est de plus positive, elle admet nécessairement une limite en .
On a enfin, pour et comme est décroissante sur
ce qui montre que .
Par imparité, on a donc aussi .
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