Intégrale avec bornes variables
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Soit
la fonction définie par
.


- Quel est le domaine de définition de
?
est-elle paire ? impaire ?
- Étudier les variations de
.
admet-elle une limite en l'infini ? si oui, laquelle ?
Correction
Correction
- Pour tout réel
, on a
, et
est donc définie et continue sur
, tout comme
.
Pour tout réel, on a
soit aussi, en posant,
ce qui montre queest impaire.
- On pose
alorsest dérivable sur
avec
.
On a alors aussiet donc
, soit
Le dénominateur est toujours strictement positif, et le numérateur est du second degré, s'annulant en.
On trouve donc queest décroissante sur
et sur
, et croissante sur
.
On sait donc queest décroissante sur
; comme elle y est de plus positive, elle admet nécessairement une limite en
.
On a enfin, pouret comme
est décroissante sur
ce qui montre que.
Par imparité, on a donc aussi.
Tag:Intégrale
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