Convergence de la suite de racines d'un polynôme
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
- Montrer que l'équation
admet une unique solution
dans
.
- Démontrer que
est décroissante et minorée par
.
- Démontrer que
converge vers
.
Correction
Correction
- Pour
, l'équation s'écrit
et
…
Soit, on considère la fonction
définie sur
par
.
est un polynôme, donc continue et dérivable avec
pour
et
est donc strictement croissante sur
.
De plus, aux bornes on aet
dès que
.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection carest ainsi une bijection entre
et
), il existe une unique valeur
telle que
.
- On a donc
et
. Pour étudier le sens de variation d'une suite, on s'intéresse assez naturellement à la différence de deux termes consécutifs
qu'on fait apparaître en faisant la différence
soit
ou encore, comme,
Maintenant, commeest strictement croissante sur
pour tout entier
, on a, pour tout
,
Ainsi, tous les termessont de même signe, et, leur somme étant négative d'après la relation précédente, ils sont tous négatifs. En particulier
donc
est décroissante.
On a de plus,
ce qui montre que, pour tout entier, on a,
.
- La suite
est décroissante et minorée; elle est donc convergente vers un réel
.
Miantenant, ce réel satisfait nécessairement, par passage à la limite,
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