Convergence de la suite de racines d'un polynôme


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

  1. Montrer que l'équation $\dsp\sum_{k=1}^nx^k=1$ admet une unique solution $a_n$ dans $[0;1]$.
  2. Démontrer que $\left( a_n\rp$ est décroissante et minorée par $\dfrac12$.
  3. Démontrer que $\left( a_n\rp$ converge vers $\dfrac12$.



Correction

Correction

  1. Pour $n=1$, l'équation s'écrit $x=1$ et $a_n=1$ …

    Soit $n>1$, on considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=\dsp\sum_{k=1}^nx^k-1$.
    $f$ est un polynôme, donc continue et dérivable avec $f'(x)=\dsp\sum_{k=1}^nkx^{k-1}>0$ pour $x\in]0;1]$ et $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
    De plus, aux bornes on a $f(0)=-1<0$ et $f(1)=n-1>0$ dès que $n>1$.
    D'après le théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection car $f$ est ainsi une bijection entre $[0;1]$ et $[-1;n-1]$), il existe une unique valeur $a_n\in[0;1]$ telle que $f\left( a_n\rp=0$.
  2. On a donc $a_n\in[0;1]$ et $\dsp\sum_{k=1}^na_n^k=1$. Pour étudier le sens de variation d'une suite, on s'intéresse assez naturellement à la différence de deux termes consécutifs $a_{n+1}-a_n$ qu'on fait apparaître en faisant la différence
    \[\sum_{k=1}^{n+1}a_{n+1}^k-\sum_{k=1}^na_n^k=0\]

    soit
    \[a_{n+1}^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left( a_{n+1}^k-a_n^k\rp=0\]

    ou encore, comme $a_{n+1}\in[0;1]$,
    \[\sum_{k=1}^n\left( a_{n+1}^k-a_n^k\rp=-a_{n+1}^{n+1}<0\]

    Maintenant, comme $x\mapsto x^k$ est strictement croissante sur $[0;1]$ pour tout entier $k\geqslant1$, on a, pour tout $k\geqslant1$,

    \[a_{n+1}-a_n<0\iff a_{n+1}<a_n\iff a_{n+1}^k<a_n^k\]

    Ainsi, tous les termes $a_{n+1}^k-a_n^k$ sont de même signe, et, leur somme étant négative d'après la relation précédente, ils sont tous négatifs. En particulier $a_{n+1}-a_n<0$ donc $\left( a_n\rp$ est décroissante.

    On a de plus,
    \[\begin{array}{ll}f\lp\dfrac12\rp&=\dsp\sum_{k=1}^n\lp\dfrac12\rp^k\\[1.2em] &=\dfrac12\,\dfrac{1-\lp\dfrac12\rp^n}{1-\dfrac12}\\[2.1em] &=1-\lp\dfrac12\rp^n<0\enar\]

    ce qui montre que, pour tout entier $n$, on a, $a_n>\dfrac12$.
  3. La suite $\left( a_n\rp$ est décroissante et minorée; elle est donc convergente vers un réel $\dfrac12\leqslant l<1$.
    Miantenant, ce réel satisfait nécessairement, par passage à la limite,
    \[\begin{array}{ll}&\dsp\sum_{k=1}^\infty l^k=1\\[1em] &\iff \dfrac{l}{1-l}=1\\[1em] &\iff l=1-l\\[.9em] &\iff l=\dfrac12\enar\]




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