Nature de l'intégrale …


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Étudier la nature de l'intégrale $\dsp\int_0^1 \ln x\,dx$


Correction

Correction

$x\mapsto \ln x$ est continue sur $]0;1]$. Il suffit donc d'étudier la convergence de l'intégrale en 0. On compare pour cela à une intégrale Riemann: en $0$, par croissances comparées, $\dfrac{\ln x}{\frac1{\sqrt{x}}}=\sqrt{x}\ln x\to0$, ce qui signifie que, en $0$, $\ln x=o\lp\dfrac1{\sqrt{x}}\rp$.
Or, $x\mapsto\dfrac1{\sqrt{x}}=\dfrac1{x^{1/2}}$ est intégrable en $0$, et donc l'intégrale est convergente.


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