Somme des entiers
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SommesSommes des termes d'une suite
- RécurrenceDémonstration par récuurrence
Énoncé du sujet
Montrer par récurrence que
.
En calculant la différence
,
trouver une démonstration directe de ce résultat.
![$\dsp\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers/1.png)
En calculant la différence
![$(k+1)^2-k^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers/2.png)
Correction
:
Pour
,
et
, ce qui montre que la formule est vraie initialement au rang
.
Supposons maintenant que la formule est vraie à un rang quelconque
,
c'est-à-dire
que
.
On a alors, au rang
suivant:
![\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{k=1}^{n+1} k
&=\dsp\sum_{k=1}^n k+(n+1)\\[.6em]
&=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\[.6em]
&=\dfrac{(n+1)}{2}\left( n+2\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/9.png)
et la formule est donc encore vraie.
On a donc montré, grâce au principe de récurrence, que pour tout entier non nul
,
.
Autre démonstration: on remarque que
,
et donc,
, d'où
![\[\begin{array}{ll}
\dsp\sum_{k=1}^nk
&=\dfrac12\lp\sum_{k=1}^n(k+1)^2-\sum_{k=1}^nk^2\rp-\dfrac12\sum_{k=1}^n1 \\[1.2em]
&=\dfrac12\lp\sum_{k=2}^{n+1}k^2-\sum_{k=1}^nk^2\rp-\dfrac{n}{2} \\[1.2em]
&=\dfrac12\lp(n+1)^2-1^2\rp-\dfrac{n}{2}\\[1.2em]
&=\dfrac12\left( n^2+n \rp\\[1em]
&=\dfrac{n(n+1)}{2}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/14.png)
ce qui montre directement la formule pour tout entier non nul
.
Correction
Par récurrence sur![$n\in\N^*$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/1.png)
Pour
![$n=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/2.png)
![$\dsp\sum_{k=1}^1 k=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/3.png)
![$\dfrac{n(n+1)}{2}=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/4.png)
![$n=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/5.png)
Supposons maintenant que la formule est vraie à un rang quelconque
![$n\in\N^*$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/6.png)
![$\dsp\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/7.png)
On a alors, au rang
![$n+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/8.png)
![\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{k=1}^{n+1} k
&=\dsp\sum_{k=1}^n k+(n+1)\\[.6em]
&=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\[.6em]
&=\dfrac{(n+1)}{2}\left( n+2\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/9.png)
et la formule est donc encore vraie.
On a donc montré, grâce au principe de récurrence, que pour tout entier non nul
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/10.png)
![$\dsp\sum_{k=1}^n k=\dfrac{n(n+1)}{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/11.png)
Autre démonstration: on remarque que
![$(k+1)^2-k^2=2k+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/12.png)
![$k=\dfrac12\lp(k+1)^2-k^2\rp-\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/13.png)
![\[\begin{array}{ll}
\dsp\sum_{k=1}^nk
&=\dfrac12\lp\sum_{k=1}^n(k+1)^2-\sum_{k=1}^nk^2\rp-\dfrac12\sum_{k=1}^n1 \\[1.2em]
&=\dfrac12\lp\sum_{k=2}^{n+1}k^2-\sum_{k=1}^nk^2\rp-\dfrac{n}{2} \\[1.2em]
&=\dfrac12\lp(n+1)^2-1^2\rp-\dfrac{n}{2}\\[1.2em]
&=\dfrac12\left( n^2+n \rp\\[1em]
&=\dfrac{n(n+1)}{2}
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/14.png)
ce qui montre directement la formule pour tout entier non nul
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiers_c/15.png)
Tags:SommesRécurrence
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