Application linéaire sur des polynômes ? Noyau et image ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
L'application
est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
![$f:\R[X]\to \R,\ P\mapsto \big(P(1),P'(1)\big)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5/1.png)
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Correction
et
,
alors d'après les propriétés de linéarité de la dérivation (justement !)
et
on déduit directement que
et que
,
c'est-à-dire que
est une application linéaire.
Soit
tel que
.
Ainsi 1 est une racine double de
qui peut donc se factorise par
et
.
En pariculier,
n'est pas injective, et donc pas bijective.
Pour étudier l'image, soit
, et on cherche
tel que
et
.
Il suffit de prendre par exemple
.
Ainsi,
est surjective.
Correction
Soit![$P,Q\in\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/1.png)
![$\lambda\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/2.png)
![$(P+Q)'(1)=P'(1)+Q'(1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/3.png)
![$(\lambda P)'(1)=\lambda P'(1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/4.png)
![$f(P+Q)=f(P)+f(Q)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/5.png)
![$f(\lambda P)=\lambda f(P)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/6.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/7.png)
Soit
![$P\in\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/8.png)
![$f(P)=0\iff P(1)=P'(1)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/9.png)
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/10.png)
![$(X-1)^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/11.png)
![$\text{Ker}(f)=\Bigl\{ (X-1)^2Q(X)\,;\,Q\in\R[X]\Bigr\}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/12.png)
En pariculier,
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/13.png)
Pour étudier l'image, soit
![$(\alpha,\beta)\in\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/14.png)
![$P\in\R[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/15.png)
![$\alpha=P(1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/16.png)
![$\beta=P'(1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/17.png)
![$P(X)=\beta(X-1)+\alpha$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/18.png)
Ainsi,
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL5_c/19.png)
Tags:Applications linéairesPolynôme
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