Minimum de la norme d'une somme
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
Énoncé du sujet
Soit
muni du produit scalaire canonique,
et
,
deux éléments de
.
Montrer que
et
sont orthogonaux si et seulement si
pour tout
.
![$E=\R^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0/1.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0/2.png)
![$y$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0/3.png)
![$E$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0/4.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0/5.png)
![$y$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0/6.png)
![$\|x+\lambda y\|\geqslant\|x\|$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0/7.png)
![$\lambda\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0/8.png)
Correction
![\[\|x+\lambda y\|^2=\|x\|^2+2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/1.png)
et donc
![\[\begin{array}{ll}\|x+\lambda y\|\geq\|x\|&\iff\|x+\lambda y\|^2\geq \|x\|^2\\[.6em]
&\iff2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/2.png)
Si
est orthogonal à
, donc
,
alors l'inégalité précédente est bien vérifiée pour tout
.
Réciproquement, si
![\[P(\lambda)=2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/7.png)
pour tout réel
,
alors le discriminant du polynôme du second degré
est négatif ou nul, soit
![\[\Delta=4\langle x,y\rangle^2\leq 0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/10.png)
Ceci n'est possible que si
, c'est-à-dire si
et
sont orthogonaux.
Correction
On a![\[\|x+\lambda y\|^2=\|x\|^2+2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/1.png)
et donc
![\[\begin{array}{ll}\|x+\lambda y\|\geq\|x\|&\iff\|x+\lambda y\|^2\geq \|x\|^2\\[.6em]
&\iff2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/2.png)
Si
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/3.png)
![$y$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/4.png)
![$\langle x,y\rangle=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/5.png)
![$\lambda\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/6.png)
Réciproquement, si
![\[P(\lambda)=2\lambda \langle x,y\rangle+\lambda^2\|y\|^2\geq 0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/7.png)
pour tout réel
![$\lambda$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/8.png)
![$P$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/9.png)
![\[\Delta=4\langle x,y\rangle^2\leq 0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/10.png)
Ceci n'est possible que si
![$\langle x,y\rangle=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/11.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/12.png)
![$y$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/ex0_c/13.png)
Tag:Espaces euclidiens
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