Espérance et fonction de répartition


Soit $f$ une densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $[0;+\infty[$, et $F$ sa fonction de répartition. On note:
\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]

On suppose qu'il existe $\alpha>1$ tel que
\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]

  1. Montrer que $E[X]$ existe et que
    \[E[X]=\int_0^{+\infty}Q(t)\,dt\]

  2. Soit $X_1$, … , $X_n$, $n$ variables aléatoires indépendantes, toutes de loi exponentielle de paramètre 1.
    On note $U_n=\min\left( X_1, \dots , X_n\rp$.
    Déterminer $K_n$ la fonction de répartition de $U_n$.
    En déduire l'espérance et la variance de $U_n$.
  3. Soit $N$ qui suit une loi géométrique de paramètre $p\in]0, 1[$. On note $U=\min\left( X_1, \dots , X_N\rp$.
    Déterminer $P(U > x)$ pour tout $x\in\R_+$.
    La variable aléatoire $U$ admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

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Tag:Variables aléatoires continues

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