Variante du théorème de convergence monotone bornée


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que,
  • pour tout entier $n$, $u_n<v_n$
  • $(u_n)$ est croissante
  • $(v_n)$ converge vers un réel $l$.

Montrer que $(u_n)$ converge. Que peut-on dire de sa limite ?


Correction

Correction

Comme $(v_n)$ converge vers $l$, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout entier $n\geqslant n_0$, $v_n<l+1$.
On a donc, pour tout entier $n\geqslant n_0$, $u_n<v_n<l+1$ et ainsi $(u_n)$ est majorée.
Comme de plus $(u_n)$ est croissante, on en déduit que $(u_n)$ converge vers un réel $l'$, limite dont on peut seulement dire ici que $l'\leqslant l$.


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