Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
La matrice est-elle diagonalisable ?
Correction
Si on ne connaît pas ce théorème spectral, on peut aussi (et doit savoir) le montrer.
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
Ce trinôme du second degré a pour discriminant et admet donc deux racines: les deuxvaleurs propres de A qui est donc diagonalisable.
avec un calcul de rang
On calcule , soit
et,
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
Le discriminant de ce dernier trinôme est
A admet alors deux valeurs propres distinctes, et est donc diagonalisable.
Correction
La matrice est symétrique réelle, donc diagonalisable.Si on ne connaît pas ce théorème spectral, on peut aussi (et doit savoir) le montrer.
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
Ce trinôme du second degré a pour discriminant et admet donc deux racines: les deuxvaleurs propres de A qui est donc diagonalisable.
avec un calcul de rang
On calcule , soit
et,
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
Le discriminant de ce dernier trinôme est
A admet alors deux valeurs propres distinctes, et est donc diagonalisable.
Tags:DiagonalisationMatrices
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