Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
La matrice
est-elle diagonalisable ?
![$A=\lp\begin{array}{cc}7&1\\1&3\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2/1.png)
Correction
est symétrique réelle,
donc diagonalisable.
Si on ne connaît pas ce théorème spectral, on peut aussi (et doit savoir) le montrer.
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
![\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)&=\det\left( A-XI_3\right)
=\left|\begin{array}{cc}7-X&1\\1&3-X\enar\right|\\[1em]
&=(7-X)(3-X)-1\\[.5em]
&=X^2-10X+20\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/2.png)
Ce trinôme du second degré a pour discriminant
et admet donc deux racines: les deuxvaleurs propres de
A
qui est donc diagonalisable.
avec un calcul de rang
On calcule
, soit
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}7-\lambda&1\\1&3-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/5.png)
et,
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}7-\lambda&1-(3-\lambda)(7-\lambda) \\1&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/7.png)
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
![\[\begin{array}{ll}
&1-(3-\lambda)(7-\lambda)=0 \\
\iff &-\lambda^2+10\lambda-20=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/8.png)
Le discriminant de ce dernier trinôme est
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=10^2-4\tm(-1)(-20)\\
&=20>0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/9.png)
A admet alors deux valeurs propres distinctes, et est donc diagonalisable.
Correction
La matrice![$A=\lp\begin{array}{cc}7&1\\1&3\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/1.png)
Si on ne connaît pas ce théorème spectral, on peut aussi (et doit savoir) le montrer.
Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
![\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)&=\det\left( A-XI_3\right)
=\left|\begin{array}{cc}7-X&1\\1&3-X\enar\right|\\[1em]
&=(7-X)(3-X)-1\\[.5em]
&=X^2-10X+20\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/2.png)
Ce trinôme du second degré a pour discriminant
![$\Delta=20>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/3.png)
avec un calcul de rang
On calcule
![$r=\text{rg}(A-\lambda I)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/4.png)
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}7-\lambda&1\\1&3-\lambda\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/5.png)
et,
![$C_2\leftarrow C_2-(3-\lambda)C_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/6.png)
![\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}7-\lambda&1-(3-\lambda)(7-\lambda) \\1&0\enar\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/7.png)
Le rang est ainsi différent de 2 lorsque
![\[\begin{array}{ll}
&1-(3-\lambda)(7-\lambda)=0 \\
\iff &-\lambda^2+10\lambda-20=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/8.png)
Le discriminant de ce dernier trinôme est
![\[\begin{array}{ll}\Delta&=10^2-4\tm(-1)(-20)\\
&=20>0\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/symetrique-reelle-2x2_c/9.png)
A admet alors deux valeurs propres distinctes, et est donc diagonalisable.
Tags:DiagonalisationMatrices
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