Calcul matriciel - Inverse


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\rp$. Montrer que $A^2=2I-A$.
En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.


Correction

Correction

On trouve bien que
\[A^2=AA=
\lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\right)
\lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\right)
=\lp\begin{array}{ccc}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\enar\right)
=AI-A\]


On a donc aussi $\dfrac12\left( A^2+A\rp=I\iff A\dfrac12\left( A+I\rp=\dfrac12\left( A+I\rp A=I$,
ce qui montre que $A$ est inversible avec $A^{-1}=\dfrac12\left( A+I\rp$.


Tag:Matrices

Autres sujets au hasard: Lancer de dés


Voir aussi:
LongPage: h2: 3 - h3: 0