Calcul matriciel - Inverse

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

MatricesMatrices

Énoncé du sujet

Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\rp$ . Montrer que

.
En déduire que

est inversible et calculer $A^{-1}$ .

Correction

On trouve bien que

$A^2=AA= \lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\right) \lp\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\enar\right) =\lp\begin{array}{ccc}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\enar\right) =AI-A$

On a donc aussi $\dfrac12\left( A^2+A\rp=I\iff A\dfrac12\left( A+I\rp=\dfrac12\left( A+I\rp A=I$ ,
ce qui montre que

est inversible avec $A^{-1}=\dfrac12\left( A+I\rp$ .

Tag:Matrices

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