Expression d'une série entière à l'aide d'une équation différentielle

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

On pose $f(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}$

Correction

On pose $f(x)=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}$

est une série entière et $\dfrac{x^{3(n+1)}}{(3(n+1))!}\tm\dfrac{(3n)!}{x^{3n}} =\dfrac{x^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}\to0$ pour tout réel .
Ainsi la série a un rayon de convergence infini, et $\mathcal{D}_f=\R$ .
En particulier, est $C^{\infty}$ sur $\R$ , et on peut dériver la série terme à terme, d'où

$f'(x)=\sum_{n\geqslant1}\dfrac{x^{3n-1}}{(3n-1)!}$

et

$f"(x)=\sum_{n\geqslant1}\dfrac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}$

En particulier, on trouve que $f+f'+f"=\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{x^n}{n!}=e^x$ .

On résout alors cette équation différentielle. L'équation homogène est , d'équation caractéristique de racines $r_1=j=e^{2i\pi/3}$ et $r_2=\overline{j}=e^{-2i\pi/3}$ et donc, $y(x)=A\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}x\rp+B\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}x\rp$ . Une solution particulière est $y=\dfrac13x$ , d'où la solution générale:

$y(x)=A\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}x\rp+B\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}x\rp +\dfrac13e^x$

On a de plus $f(0)=1=A+\dfrac13\iff A=\dfrac23$ et $f'(0)=0\iff \dfrac{2\pi}{3}B+\dfrac13=0\iff B=-\dfrac{1}{2\pi}$ .
On trouve donc, finalement, que

$f(x)=\dfrac23\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}x\right) -\dfrac{1}{2\pi}\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}x\right) +\dfrac13e^x$

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