Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
Résoudre:
![$xy'+y=\dfrac{1}{x^2(1+x)}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1/1.png)
Correction
L'équation homogène est
soit
,
.
En faisant varier la constante, on trouve
.
Pour intégrer ce terme, on décompose en éléments simples:
![\[\dfrac{1}{x^2(1+x)}
=\dfrac{1+x-x}{x^2(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1+x-x}{x(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1+x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/6.png)
et donc
.
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
,
.
Correction
![$xy'+y=\dfrac{1}{x^3(1+x)}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/1.png)
L'équation homogène est
![$xy'+y=0 \iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac{1}{x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/2.png)
![$y=\dfrac{A}{x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/3.png)
![$A\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/4.png)
En faisant varier la constante, on trouve
![$A'(x)=\dfrac{1}{x^2(1+x)}$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/5.png)
Pour intégrer ce terme, on décompose en éléments simples:
![\[\dfrac{1}{x^2(1+x)}
=\dfrac{1+x-x}{x^2(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1+x-x}{x(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1+x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/6.png)
et donc
![$A(x)=-\dfrac{1}{x}-\ln(|x|)+\ln\lp|1+x|\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/7.png)
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions
![$y(x)=\dfrac{A}{x}-\dfrac{1}{x}-\ln(|x|)+\ln\lp|1+x|\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/8.png)
![$A\in\R$](/Generateur-Devoirs/Colles/EquaDiff/ex5.1_c/9.png)
Tag:Équation différentielle
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