Rayon de convergence

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Séries entièresSéries entières

Énoncé du sujet

Étudier la convergence de la série $\dsp\sum_{n\geqslant0}\dfrac{n!}{n^n}z^n$ .

Correction

Soit $a_n=\dfrac{n!}{n^n}z^n$ , alors

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}= \dfrac{(n+1)!\,z^{n1}}{(n+1)^{n+1}} \tm\dfrac{n^n}{n!\,z^n} =z\lp\dfrac{n}{n+1}\rp^n =ze^{n\ln\lp\dfrac{n}{n+1}\right)} =ze^{-n\ln\lp1+\dfrac1n\right)}$

Or, pour $n\to+\infty$ , $\dfrac1n\to0$ , et, au 1er ordre, $-n\ln\lp1+\dfrac1n\rp=-n\lp\dfrac1n+o\lp\dfrac1n\rp\rp=-1+o(1)$ .
Ainsi, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to ze^{-1}=\dfrac{z}{e}$ et la série est convergente pour

.

En d'autres termes, le rayon de convergence de cette série entière est

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