Calcul matriciel - Inverse

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

MatricesMatrices

Énoncé du sujet

Soit $A=\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\rp$ . Calculer

.
En déduire que

est inversible, et calculer $A^{-1}$ .

Correction

$A^2=AA =\lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\right) \lp\begin{array}{ccc}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\enar\right) =\lp\begin{array}{ccc}-2&3&-3\\-3&4&-3\\3&-3&4\enar\rp$ ,
et donc, $A^2-3A=\lp\begin{array}{ccc}-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\enar\rp=-2I$ .
On a donc aussi trouvé que $\dfrac12\left( -A^2+3A\rp=I$ , soit aussi, $A\dfrac12\lp-A+3I\rp=\dfrac12\lp-A+3I\rp A=I$ ,
ce qui montre que

est inversible avec $A^{-1}=\dfrac12\lp-A+3I\rp$ .

Tag:Matrices

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