Bijection et expression de la réciproque


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:
  • DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

Soit $f:[1,+\infty[\to[1,+\infty[$ définie par $f(x)=\exp(\ln^2 x)$.
Démontrer que $f$ est une bijection, et déterminer la bijection réciproque


Correction

Correction

On a
\[f'(x)=2\tm\dfrac1x\tm\ln x\tm\exp\lp\ln^2 x\rp\]

et donc, pour $x>1$,on a $f'(x)>0$ et $f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$.
De plus, $f(1)=1$ et, par composition de limites,
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\]

.
En résumé $f$ est continue strictement croissante, et réalise donc une bijection de $[1,+\infty[$ sur $[1,+\infty[$.

Soit $y\geq 1$, alors l'équation
\[\begin{array}{ll}f(x)=y&\iff \exp(\ln^2 x)=y\\[.5em] &\iff \ln^2(x)=\ln(y)\\[.5em] &\iff \ln(x)=\sqrt{\ln y}\\[.5em] &\iff x=\exp\left(\sqrt{\ln y}\right) \enar\]

On a ainsi obtenu l'expression de la fonction réciproque
\[f^{-1}(y)=\exp\left(\sqrt{\ln y}\right)\]




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