Bijection et expression de la réciproque

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

Soit $f:[1,+\infty[\to[1,+\infty[$ définie par $f(x)=\exp(\ln^2 x)$ .
Démontrer que

est une bijection, et déterminer la bijection réciproque

Correction

On a

$f'(x)=2\tm\dfrac1x\tm\ln x\tm\exp\lp\ln^2 x\rp$

et donc, pour

,on a

est strictement croissante sur $[1,+\infty[$ .
De plus,

et, par composition de limites,

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

.
En résumé

est continue strictement croissante, et réalise donc une bijection de $[1,+\infty[$ sur $[1,+\infty[$ .

Soit $y\geq 1$ , alors l'équation

$\begin{array}{ll}f(x)=y&\iff \exp(\ln^2 x)=y\\[.5em] &\iff \ln^2(x)=\ln(y)\\[.5em] &\iff \ln(x)=\sqrt{\ln y}\\[.5em] &\iff x=\exp\left(\sqrt{\ln y}\right) \enar$

On a ainsi obtenu l'expression de la fonction réciproque

$f^{-1}(y)=\exp\left(\sqrt{\ln y}\right)$

Tag:Dérivée

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