Matrice d'une application linéaire, et changement de bases
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
- MatricesMatrices
- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
l'application de
dans
définie par
![\[
u(x,y,z)=(-x+y,x-y,-x+z,-y+z).
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exALchgtBases/4.png)



![\[
u(x,y,z)=(-x+y,x-y,-x+z,-y+z).
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/matrices/exALchgtBases/4.png)
- Montrer que
est linéaire
- Soient
la base canonique de
et
la base canonique de
.
Calculer,
et
en fonction de
,
,
et
.
- Écrire la matrice de
dans les bases canoniques.
- Montrer que
est une base de
.
- Écrire la matrice de
dans les bases
et
.
Correction
Correction
- Soit
,
et
, alors
De même, on a
Ainsi,est linéaire.
- On a
- La matrice est:
- Puisque
est de dimension 4 et que la famille a quatre éléments, il suffit de montrer qu'elle est libre.
C'est bien le cas ici, car si, alors
- Il s'agit d'exprimer chaque
en fonction des vecteurs de la nouvelle base.
Pour deux des vecteurs, on a directement queet
.
Pour le troisième, il faut trouverde sorte que
Ceci revient à résoudre le système
Ainsi, onet la matrice de
dans les bases
et
est donc
Tags:Applications linéairesMatricesEspace vectoriel
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