Symétrie dans le plan (bis)


Colle de mathématiques

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L'application $f:\R^2\to\R^2$, $(x,y)\mapsto(2x-y,3x-2y)$ est-elle une projection ou une symétrie ? Préciser ses caractéristiques.


Correction

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$f$ est tout d'abord une application linéaire puisque pour $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$ dans $\R^2$, et $\lambda\in\R$, on a $u+v=(x+x',y+y')$ et:
\[\begin{array}{lcl} f(u+v)&=&\Bigr( 2(x+x')-(y+y'), 3(x+x')-2(y+y')\Bigl)\\[.5em] &=&\big(2x-y+2x'-y', 3x-2y+3x'-2y'\bigr)\\[.4em] &=&(2x-y, 3x-2y) + (2x'-y',3x'-2y')\\[.4em] &=&f(u)+f(v). \enar\]

et avec $\lambda u=(\lambda x,\lambda y)$,
\[\begin{array}{lcl} f(\lambda u)&=&(2\lambda x-\lambda y,3\lambda x-2\lambda y)\\[.4em] &=&\lambda(2x-y,3x-2y)\\[.4em] &=&\lambda f(u). \enar\]

Ainsi, $f$ est un endomorphisme de $\R^2$.

Un projecteur et une symétrie sont caractérisés par $f\circ f$: soit $f\circ f=f$ et alors $f$ est un projecteur, soit $f\circ f=Id$ et $f$ est une symétrie.
Ici, pour $u=(x,y)$, on a $f(u)=(2x-y,3x-2y)=(X,Y)$ puis,
\[\begin{array}{ll}f^2(u)&=f(f(u))\\[.3em] &=f(X,Y)\\[.3em] &=(2X-Y,3X-2Y)\\[.3em] &=\Bigl(2(2x-y)-(3x-2y),3(2x-y)-2(3x-2y)\Bigr)\\[.3em] &=(x,y)\\[.3em] &=f(u)\enar\]

ce qui montre donc que $f$ est donc une symétrie.
L'axe de la symétrie $F$ est invariant par $f$, soit $f(x,y)=(x,+y)$ donc
\[\la\begin{array}{rcl}2x-\ y&=&x\\3x-2y&=&y\enar\right.\]

ce qui nous donne $x=y$, équation de la droite dans le plan $\R^2$ qui est l'axe de la symétrie, ou encore, en d'autres termes $f$ est une symétrie d'axe $F=\text{Vect}\bigl((1,1)\bigl)$.

La direction $G$ de la symétrie est donnée par la relation $f(u)=-u$, soit, avec $u=(x,y)$,
\[\la\begin{array}{rcl}2x-\ y&=&-x\\3x-2y&=&-y\enar\right.\]

qui donne cette fois $y=3x$, et donc $G=\text{Vect}\bigl((1,3)\bigr)$.


Tags:ProjecteursApplications linéaires

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