Indépendance avec deux dés
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Probabilités conditionnelles - indépendanceProbabilités conditionnelles - indépendance
Énoncé du sujet
On lance deux fois un dé équilibré et on considère les 3 événements:
E: "la somme des deux lancers est égale à 6"
F: "la somme des deux lancers est égale à 7"
G: "le premier lancer est un 4".
Les événements E et G sont-ils indépendants ? les événements F et G ?
E: "la somme des deux lancers est égale à 6"
F: "la somme des deux lancers est égale à 7"
G: "le premier lancer est un 4".
Les événements E et G sont-ils indépendants ? les événements F et G ?
Correction
![\[E=\Bigl\{( 1 ; 5 ) ; ( 2 ; 4 ) ; ( 3 ; 3 ) ; ( 4 ; 2 ) ; ( 5 ; 1 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/1.png)
et donc
![\[p(E) = \dfrac5{36}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/2.png)
De même
![\[F=\Bigl\{ ( 1 ; 6 ); ( 2 ; 5 ) ; ( 3 ; 4 ) ; ( 4 ; 3 ) ; ( 5 ; 2 ) ; ( 6 ; 1 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/3.png)
et donc
![\[p(F) = \dfrac6{36}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/4.png)
De même
![\[G=\Bigl\{ ( 4 ; 1 ) ; ( 4 ; 2 ) ; ( 4 ; 3 ) ; ( 4 ; 4 ) ; ( 4 ; 5 ) ; ( 4 ; 6 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/5.png)
et donc
![\[p(G) = \dfrac6{36}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/6.png)
On a alors
![\[E\cap G = \Bigl\{ ( 4 ; 2 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/7.png)
d'où
![\[p ( E\cap G ) = \dfrac1{36}\not= p ( E) \times p ( G )\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/8.png)
donc les événements E et G ne sont pas indépendants.
De même
![\[F\cap G = \Bigl\{ ( 4 ; 3 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/9.png)
et donc
![\[p (F \cap G ) = \dfrac1{36} = p ( F ) \times p ( G )\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/10.png)
ce qui montre que les événements F et G sont indépendants.
Correction
On a![\[E=\Bigl\{( 1 ; 5 ) ; ( 2 ; 4 ) ; ( 3 ; 3 ) ; ( 4 ; 2 ) ; ( 5 ; 1 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/1.png)
et donc
![\[p(E) = \dfrac5{36}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/2.png)
De même
![\[F=\Bigl\{ ( 1 ; 6 ); ( 2 ; 5 ) ; ( 3 ; 4 ) ; ( 4 ; 3 ) ; ( 5 ; 2 ) ; ( 6 ; 1 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/3.png)
et donc
![\[p(F) = \dfrac6{36}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/4.png)
De même
![\[G=\Bigl\{ ( 4 ; 1 ) ; ( 4 ; 2 ) ; ( 4 ; 3 ) ; ( 4 ; 4 ) ; ( 4 ; 5 ) ; ( 4 ; 6 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/5.png)
et donc
![\[p(G) = \dfrac6{36}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/6.png)
On a alors
![\[E\cap G = \Bigl\{ ( 4 ; 2 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/7.png)
d'où
![\[p ( E\cap G ) = \dfrac1{36}\not= p ( E) \times p ( G )\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/8.png)
donc les événements E et G ne sont pas indépendants.
De même
![\[F\cap G = \Bigl\{ ( 4 ; 3 ) \Bigr\}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/9.png)
et donc
![\[p (F \cap G ) = \dfrac1{36} = p ( F ) \times p ( G )\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Probabilites-conditionnelles-independance/Indepance2des_c/10.png)
ce qui montre que les événements F et G sont indépendants.
Tag:Probabilités conditionnelles - indépendance
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