Équation différentielle - 1^er ordre, coefficients non constants

Colle de mathématiques

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Équation différentielleÉquation différentielle

Énoncé du sujet

Résoudre sur $]0;+\infty[$ l'équation différentielle: $(x-1)y'+y-\ln(x)=0$ .

Correction

Correction

Soit $E: (x-1)y'+y-\ln(x)=0\iff (x-1)y'+y=\ln(x)$ .
L'équation homogène associée est

$E_0: (x-1)y'+y=0 \iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac1{x-1}$

et donc, en intégrant,

$y=\dfrac{C}{x-1}$

où

est une constante quelconque.
Plus précisément, $y=\dfrac{C_1}{x-1}$ sur

et $y=\dfrac{C_2}{x-1}$ sur $]1;+\infty[$ .

Pour Déterminer une solution particulière de

, on peut essayer de faire varier la constante:

$y'=\dfrac{C'}{x-1}-\dfrac{C}{(x-1)^2}$

et alors

$(x-1)y'+y=\ln(x) \iff C'=\ln(x)$

On peut alors prendre $C=x\ln(x)-x$ et donc $y=\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}$ est une solution particulière sur

et sur $]1;+\infty[$ .

Les solutions de

sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,

$y(x)=\la\begin{array}{ll} \dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}+\dfrac{C_1}{x-1}\ ,\ \text{ pour } x\in]0;1[\\ \dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}+\dfrac{C_2}{x-1}\ ,\ \text{ pour } x\in]1;+\infty[\enar\right.$

pour toutes constantes

et

.

Tag:Équation différentielle

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