Calcul matriciel - Sous espace vectoriel de matrices

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

MatricesMatrices
Espace vectorielEspaces vectoriels

Énoncé du sujet

On consdière les matrices $A\lp\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\3&1&1\enar\rp$ , $B\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&0\\1&0&0\enar\rp$ , $C\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&2&1\\0&-1&-1\enar\rp$ .

Calculer et . peut-elle être inversible ?
Déterminer l'ensemble $\mathcal E$ des matrices vérifiant .
Montrer que $\mathcal E$ est un sous espace vectoriel et préciser sa dimension.

Correction

On calcule $AB=\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&0\\4&4&3\enar\rp$ , et de même $AC=\lp\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&0\\4&4&3\enar\rp$ .
On a donc

, ou encore $A\left( B-C\rp=0$ . Ceci montre en particulier que

ne peut pas être inversible.

On peut aussi interpréter en considérant l'application linéaire dont la matrice (dans la base canonique par exemple) est . Alors montre directement que n'est pas injective et donc ne peut bijective: sa matrice n'est pas inversible.

L'ensemble $\mathcal E$ est clairement un sous espace vectoriel: c'est le noyau de l'application linéaire "produit à droite": $M\mapsto AM$ .

Soit $M=\lp\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\enar\rp$ une matrice quelconque, alors

$\begin{array}{ll}AM=0&\iff\la\begin{array}{l}a=b=c=0\\d+g=e+h=f+i=0\\3a+d+g=3b+e+h=3c+f+i=0\enar\right.\\[2em] &\iff\la\begin{array}{l}a=b=c=0\\d+g=e+h=f+i=0\enar\right.\enar$

Ce qui montre que $\mathcal{E}$ est généré par les trosi matrices, $\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\d&0&0\\-d&0&0\enar\rp$ , $\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&e&0\\0&-e&0\enar\rp$ , et $\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&f\\0&0&-f\enar\rp$ , ou encore que

$\mathcal E=\text{Vect}\left\{ M_1=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\-1&0&0\enar\rp, M_2=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&-1&0\enar\rp, M_3=\lp\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&-1\enar\rp\right\}$

On a alors aussi trouvé que $\dim\lp\mathcal E\rp=3$ .

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