Probabilité d''une réunion d'événements indépendants


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

  1. Soit $n$ événements d'un espace probabilisé $\lp\Omega,P\rp$, $A_1$, $A_2$, …, $A_n$. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives $p_i=P(A_i)$. Donner une expression de $P\left( A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n\rp$ en fonction de $p_1$, $p_2$, …, $p_n$.
  2. Un avion quadrimoteur peut voler tant qu'au moins un de ses moteurs fonctionne. Chacun de ses moteurs peut tomber en panne, indépendamment les uns des autres, avec la probabilité $p=0,01$.
    Déterminer la probabilité que l'avion arrive à bon port.



Correction

Correction

  1. Les événements $A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants, et donc les événements complémentaires $\overline{A_1},\dots,\overline{A_n}$ le sont aussi. On a donc
    \[\begin{array}{ll} P\left( A_1\cup\dots\cup A_n\right) &=1-P\lp\,\overline{A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n}\,\rp\\[.8em] &=1-P\lp\overline{A_1}\cap\dots\cap \overline{A_n}\rp\\ &=1-\dsp\prod_{i=1}^n P(\overline{A_i})\\ &=1-\dsp\prod_{i=1}^n (1-p_i)\enar\]

  2. L'avion a quatre moteurs, et on note $A_i$: "le moteur $i$ ne tombe pas en panne", et on a $P\left( A_i\rp=1-p$.
    L'avion peut continuer de voler avec la probabilité
    \[\begin{array}{ll}P\left( A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4\right) &=1-\bigl(1-(1-p)\bigr)^4\\[.7em] &=1-p^4=1-10^{-8}\enar\]



Tag:Probabilités conditionnelles - indépendance

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