Endomorphisme de carré nul


Soit $f$ un endomorphisme non nul d'un $\R$-espace vectoriel $E$ de dimension 3, tel que $f\circ f=0$.
  1. Montrer que $\text{Im}(f)\subset\ker(f)$. Quel est le rang de $f$ ?
  2. Montrer qu'il existe un vecteur $e_1$ de $E\setminus\ker(f)$ et un vecteur $e_2$ de $\ker(f)$ tels que $\left( e_1, f(e_1), e_2\rp$ soit une base de $E$. Écrire la matrice de $f$ dans cette base.
  3. Donner un exemple d'un tel endomorphisme dans $\R^3$.

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