Endomorphisme de carré nul

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Soit

un endomorphisme non nul d'un $\R$ -espace vectoriel

de dimension 3, tel que $f\circ f=0$ .

Montrer que $\text{Im}(f)\subset\ker(f)$ . Quel est le rang de ?
Montrer qu'il existe un vecteur de $E\setminus\ker(f)$ et un vecteur de $\ker(f)$ tels que $\left( e_1, f(e_1), e_2\rp$ soit une base de . Écrire la matrice de dans cette base.
Donner un exemple d'un tel endomorphisme dans $\R^3$ .

Correction

Oral ENSAE - 2017

Soit $y\in\text{Im}(f)$ , alors il existe $x\in E$ tel que .
On a alors $f(y)=f\left( f(x)\rp=f\circ f(x)=0$ , ce qui signifie que $y\in\ker(f)$ , et donc l'inclusion $\text{Im}(f)\subset\ker(f)$ .

D'après le théorème du rang, on a

$\text{rg}(f)+\dim(\ker(f))=\dim(E)=3$

avec, d'après le résultat précédent, $\text{rg}(f)=\dim(\text{Im}(f))\leqslant\dim(\ker(f))$ et on a donc

$3=\text{rg}(f)+\dim(\ker(f))\geqslant \text{rg}(f)+\text{rg}(f)$

d'où

$\text{rg}(f)\leqslant\dfrac32$

De plus, comme n'est pas l'application nulle, on a $\text{rg}(f)\geqslant1$ .
Finalement, on a trouvé $\text{rg}(f)=1$ et alors $\ker(f)=2$ .
On commence par construire une base du noyau, de dimension 2. Soit $e_1\in E\setminus\ker(f)$ . On a alors $f(e_1)\not=0$ , et aussi $f(f(e_1))=f\circ f(e_1)=0$ et donc $f(e_1)\in\ker(f)$ .
On complète ce vecteur par un vecteur tel que soit une base de $\ker(f)$ .
Il s'agit alors de montrer que la famille est une base .
Il suffit de montrer que cette famille de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 est libre.

Soit $\alpha$ , $\beta$ et $\gamma$ trois réels tels que $\alpha e_1+\beta f(e_1)+\gamma e_2=0$ , alors, en appliquant , on obtient aussi, puisque et sont des éléments de $\ker(f)$ ,

$\alpha f(e_1)+\beta f\circ f(e_1)+\gamma f(e_2)=0 \iff\alpha f(e_1)=0$

d'où $\alpha=0$ puisque aussi $f(e_1)\not=0$ .
On a donc maintenant la relation

$\beta f(e_1)+\gamma e_2=0$

or est une base de $\ker(f)$ , en particulier la famille est libre, et la relation précédente implique donc que $\beta=\gamma=0$ .

Finalement, on a bien montré que forme une base de .

Dans cette base $\left( v_1=e_1; v_2=f(e_1); v_3=e_2\rp$ on a directement et , d'où la matrice de dans cette base

$\lp\begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\enar\rp$
L'endomorphisme canoniquement associé à la matrice précédente est un exemple de tel endomorphisme: non nul et tel que $f\circ f=0$ .

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