Endomorphisme de carré nul
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
Soit un endomorphisme non nul d'un -espace vectoriel de dimension 3, tel que .
- Montrer que . Quel est le rang de ?
- Montrer qu'il existe un vecteur de et un vecteur de tels que soit une base de . Écrire la matrice de dans cette base.
- Donner un exemple d'un tel endomorphisme dans .
Correction
Correction
Oral ENSAE - 2017- Soit , alors il existe tel que
.
On a alors , ce qui signifie que , et donc l'inclusion .
D'après le théorème du rang, on a
avec, d'après le résultat précédent, et on a donc
d'où
De plus, comme n'est pas l'application nulle, on a .
Finalement, on a trouvé et alors .
- On commence par construire une base du noyau, de dimension 2.
Soit . On a alors ,
et aussi
et donc .
On complète ce vecteur par un vecteur tel que soit une base de .
Il s'agit alors de montrer que la famille est une base .
Il suffit de montrer que cette famille de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 est libre.
Soit , et trois réels tels que , alors, en appliquant , on obtient aussi, puisque et sont des éléments de ,
d'où puisque aussi .
On a donc maintenant la relation
or est une base de , en particulier la famille est libre, et la relation précédente implique donc que .
Finalement, on a bien montré que forme une base de .
Dans cette base on a directement et , d'où la matrice de dans cette base
- L'endomorphisme canoniquement associé à la matrice précédente est un exemple de tel endomorphisme: non nul et tel que .
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