Projecteurs et somme directe d'images


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $p$ et $q$ deux projecteurs d'un même espace vectoriel et vérifiant $\text{Im}(p)\subset\text{Ker}(q)$.
  1. Que peut-on dire de $q\circ p$ ?
  2. On note $r=p+q-p\circ q$. Montrer que $\text{Im}(r)=\text{Im}(p)\oplus\text{Im}(q)$.



Correction

Correction

  1. Pour tout $x$, $y=p(x) \in\text{Im}(p)$, et donc, comme $\text{Im}(p)\subset \text{Ker}(q)$, on a $y\in\text{Ker}(q)$ soit $q(y)=q(p(x))=q\circ p(x)=0$.
    Ainsi, $q\circ p$ est l'application nulle.
  2. On cherche à montrer la some directe $\text{Im}(r)=\text{Im}(p)\oplus\text{Im}(q)$.
    Soit $y\in\text{Im}(r)$, c'est-à-dire qu'il exsite $x\in E$ tel que
    \[\begin{array}{ll}y&=r(x)\\[.4em] &=p(x)+q(x)-p\circ q(x)\\[.4em] &=\underbrace{p\bigl(x-q(x)\bigr)}_{\in\text{Im}(p)}+\underbrace{q(x)}_{\in\text{Im}(q)}\enar\]

    ce qui montre que $\text{Im}(r)\subset\text{Im}(p)+\text{Im}(q)$.

    Soit maintenant, dans l'autre sens, $y\in\text{Im}(p)+\text{Im}(q)$, c'est-à-dire qu'il existe $y_1\in\text{Im}(p)$, soit $y_1=p\left( x_1\rp$ et $y_2\in\text{Im}(q)$, soit $y_2=q\left( x_2\rp$, tels que $y=y_1+y_2=p\left( x_1\rp+q\left( x_2\rp$.
    On a alors, en appliquant $r$,
    \[\begin{array}{lcl}r(y)&=&r\Bigl(p\left( x_1\rp+q\left( x_2\rp\Bigr)\\[.5em] &=&r\bigl(p\left( x_1\rp\bigr)+r\bigl(q\left( x_2\rp\bigr)\\[.5em] &=&p^2\left( x_1\rp+q\left( p\left( x_1\rp\rp-p\left( q\left( p\left( x_1\rp\rp\rp\\ &&+p\left( q\left( x_2\rp\rp+q^2\left( x_2\rp-p\left( q^2\left( x_2\rp\rp \enar\]

    puis, en utilisant le fait que $p$ et $q$ sont des projecteurs, soit $p^2=p$ et $q^2=q$ et que $q\circ p=0$, on obtient
    \[\begin{array}{lcl}r(y)&=&p\left( x_1\rp+0-0\\&&+p\left( q\left( x_2\rp\rp+q\left( x_2\rp-p\left( q\left( x_2\rp\rp\\[.5em] &=&p\left( x_1\rp+q\left( x_2\rp\\ &=&y \enar\]

    et donc $y\in\text{Im}(r)$.
    On a donc montré l'inclusion $\text{Im}(p)+\text{Im}(q)\subset\text{Im}(r)$, et donc, finalement, l'égalite $\text{Im}(r)=\text{Im}(p)+\text{Im}(q)$.

    Il reste à montrer que la somme est directe.
    Soit $y\in\text{Im}(p)\cap\text{Im}(q)$, c'est-à-dire qu'il existe $x_1$ et $x_2$ tels que $y=p\left( x_1\rp=q\left( x_2\rp$.
    On a alors $q(y)=q\left( p\left( x_1\rp\rp=0$ d'une part, car $q\circ p=0$, et d'autre part $q(y)=q^2\left( x_2\rp=q\left( x_2\rp=y$, car $q$ est un projecteur.
    Ainsi, $q(y)=y=0$ et donc $\text{Im}(p)\cap\text{Im}(q)=\bigl\{\,0\,\bigrl\}$, alors $\text{Im}(p)$ et $\text{Im}(q)$ sont en somme directe:
    \[\text{Im}(r)=\text{Im}(p)\oplus\text{Im}(q)\]



Tags:ProjecteursApplications linéairesEspace vectoriel

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