File d'attente à un guichet

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité

, ou le deuxième guichet avec une probabilité

. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre

de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson $\mathcal{P}(m)$ . On désigne par

le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.

Correction

Pour chaque personne, le choix du premier guichet se fait avec une probabilité . Les choix sont indépendants les uns des autres, et compte le nombre de "succès" lorsqu'on réalise fois l'épreuve. On reconnait le schéma théorique d'une variable aléatoire de loi binomiale. On a donc :

$P(Y=k|X=n)=\left\{ \begin{array}{ll} \dsp\binom nk p^kq^{n-k}&\textrm{si $0\leq k\leq n$}\\[1.4em] 0&\text{si $k>n$.} \end{array}\right.$
On a:

$\begin{array}{lcl} P(Y=k,X=n)&=&P(X=n)P(Y=k|X=n)\\[.8em] &=&\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle e^{-m}\frac{m^n}{n!}\binom nkp^kq^{n-k}&\textrm{si $k\leq n$}\\[1.4em] 0&\text{sinon.}\end{array}\right. \enar$
On calcule, en prenant en compte du fait que les premiers termes sont nuls:

$\begin{array}{lcl} P(Y=k)&=&\dsp\sum_{n=k}^{+\infty}P(Y=k,X=n)\\ &=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{(mq)^n}{(n-k)!}\\[1.4em] &=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^k\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{(mq)^{n-k}}{(n-k)!}\\[1.4em] &=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^k\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(mq)^{n}}{(n)!}\\[1.4em] &=&\displaystyle e^{-m}\left(\dfrac{p}{q}\right)^k\dfrac{1}{k!}(mq)^ke^{mq}\\[1.4em] &=&e^{-mp}\dfrac{(mp)^k}{k!}. \enar$

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