Calculer l'intégrale …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Pour
, calculer


Correction
, on a
![\[\begin{array}{ll}
\dsp\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx
&=\dsp\int_0^\pi x\,dx\\[1em]
&=\lb\dfrac{x^2}2\rb_0^\pi
=\dfrac{\pi^2}2
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exCfourier_c/2.png)
Pour
, on intègre par parties:
![\[\begin{array}{ll}
\dsp\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx
&=\left[ x\dfrac{\sin(nx)}n\rb_0^\pi
-\dsp\int_0^\pi\dfrac{\sin(nx)}n\,dx\\[1.2em]
&=0-\dfrac1n\lb-\dfrac{\cos(nx)}n\rb_0^\pi\\[1em]
&=\dfrac1{n^2}\lp\cos(n\pi)-1\right)
=\dfrac1{n^2}\lp(-1)^n-1\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exCfourier_c/4.png)
Correction
Pour
![\[\begin{array}{ll}
\dsp\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx
&=\dsp\int_0^\pi x\,dx\\[1em]
&=\lb\dfrac{x^2}2\rb_0^\pi
=\dfrac{\pi^2}2
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exCfourier_c/2.png)
Pour

![\[\begin{array}{ll}
\dsp\int_0^\pi x\cos(nx)\,dx
&=\left[ x\dfrac{\sin(nx)}n\rb_0^\pi
-\dsp\int_0^\pi\dfrac{\sin(nx)}n\,dx\\[1.2em]
&=0-\dfrac1n\lb-\dfrac{\cos(nx)}n\rb_0^\pi\\[1em]
&=\dfrac1{n^2}\lp\cos(n\pi)-1\right)
=\dfrac1{n^2}\lp(-1)^n-1\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exCfourier_c/4.png)
Tag:Intégrale
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