Dérivée d'une somme géométrique

Colle de mathématiques

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DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
SommesSommes des termes d'une suite

Énoncé du sujet

Pour $x\in\R$ et $n\in\N^*$ , calculer la somme $\dsp\sum_{k=1}^n k x^{k-1}$ .

Correction

Soit la fonction polynôme $f(x)=\dsp\sum_{k=1}^n x^k$ .

est dérivable sur $\R$ (et même $C^\infty$ ), et on a, pour tout réel

, $f'(x)=\sum_{k=1}^nkx^{k-1}$ .
Par ailleurs, on a $f(x)=x\dfrac{x^n-1}{x-1}$ , et donc

$\begin{array}{ll} f'(x)&=\dfrac{x^n-1}{x-1}+x\dfrac{nx^{n-1}(x-1)-\left( x^n-1\right)}{(x-1)^2}\\[1em] &=\dfrac{\left( x^n-1\rp(x-1)+nx^n(x-1)-x\left( x^n-1\rp}{(x-1)^2} \\[1em] &=\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2} \\ \enar$

On a ainsi, $\displaystyle f'(x)=\sum_{k=1}^nkx^{k-1}= \sum_{k=1}^nkx^{k-1}$ .

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