Vrai ou Faux


Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Vrai ou faux ?
  1. En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
  2. Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable.
  3. Si $A^2$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
  4. La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.



Correction

Correction

  1. Faux. Un endomorphisme peut n'admettre aucun vecteur propre, mais s'il en admet, il y en a une infinité: si $x$ est vecteur propre, alors $\alpha x$ est aussi un vecteur propre pour tout $\alpha$.
  2. Vrai. Si $A$ est diagonalisable, il existe $D$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$ avec $D$, et on a alors $A^2=\left( PDP^{-1}\rp\left( PDP^{-1}\rp=PD^2P^{-1}$ et, comme $D^2$ est aussi diagonale, $A^2$ est donc diagonalisable (qui plus est dans la même base que $A$).
  3. Non, la réciproque précédente est fausse. Il suffit par exemple de considérer une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle que $A^2=0$, par exemple $A=\lp\begin{array}{cc}0&1\\0&0\enar\right)$ qui n'est pas diagonalisable alors que $A^2=0$ et la matrice nulle est diagonale.

    On peut aussi considérer la matrice $B=\lp\begin{array}{cc}0&1\\1&0\enar\rp$ qui est telle que $B^2$ est l'identité qui est aussi diagonale.
  4. Faux. Il suffit de considérer deux matrices diagonalisables (triangulaire, avec des valeurs diagonales, et donc valeurs propres, distinctes par exemple), et dont la somme est nilpotente, par exemple:
    \[A=\lp\begin{array}{cc}1&1\\0&2\enar\right) \text{ et } B=\lp\begin{array}{cc}-1&0\\0&-2\enar\rp\]



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