Vrai ou Faux
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
- MatricesMatrices
Énoncé du sujet
Vrai ou faux ?
- En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
- Si
est diagonalisable, alors
est diagonalisable.
- Si
est diagonalisable, alors
est diagonalisable.
- La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
Correction
Correction
- Faux. Un endomorphisme peut n'admettre aucun vecteur propre, mais s'il en admet, il y en a une infinité: si
est vecteur propre, alors
est aussi un vecteur propre pour tout
.
- Vrai. Si
est diagonalisable, il existe
diagonale telle que
avec
, et on a alors
et, comme
est aussi diagonale,
est donc diagonalisable (qui plus est dans la même base que
).
- Non, la réciproque précédente est fausse. Il suffit par exemple de considérer une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle que
, par exemple
qui n'est pas diagonalisable alors que
et la matrice nulle est diagonale.
On peut aussi considérer la matricequi est telle que
est l'identité qui est aussi diagonale.
- Faux. Il suffit de considérer deux matrices diagonalisables (triangulaire, avec des valeurs diagonales, et donc valeurs propres, distinctes par exemple), et dont la somme est nilpotente, par exemple:
Tags:DiagonalisationMatrices
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