Possibilité d'un noyau ?

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit $E=\R^4$ et $F=\R^2$ . On considère $H=\{(x,y,z,t)\in\R^4;\ x=y=z=t\}$ .

Correction

On a $H=\text{vect}\big((1,1,1,1)\big)$ et donc est bien un espace vectoriel. Il est de plus de dimension 1.
Si était le noyau d'une application linéaire de dans , alors par le théorème du rang on aurait

$4=\dim(E)=\dim(H)+\dim(\textrm{Im}(f))=1+\dim(\textrm{Im}(f))$

Ainsi, on aurait $\dim(\text{Im}(f))=3$ .
Mais $\text{Im}(f)\subset F$ : $\text{Im}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\R^2$ , et donc

$\text{Im}(f)\leqslant\text{dim}(\R^2)=2$

qui aboutit donc à une contradiction.
Ainsi, ne peut pas être le noyau d'un élément de $\mathcal{L}(E,F)$ .

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