Polynôme définissant par deux relations

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit $P\in\R_5[X]$ tel que

$\la\begin{array}{ll}P(X)=(X+1)^3A(X)+4\\[.5em] P(X)=12+(X-1)^3B(X)\enar\right.$

avec $A(X)\in\R[X]$ et $B(X)\in\R[X]$ .

Montrer que et sont racines de .
Prouver que $P'(X)=\lambda\left( X^2-1\rp^2$ , avec $\lambda\in\R$ .
En déduire que $P(X)=\dfrac\lambda5X^5-\dfrac{2\lambda}3X^3+\lambda X+\mu$ , avec $\lp\lambda,\mu\rp\in\R^2$ .
Déterminer .

Correction

En dérivant les relations définissant on obtient

$\la\begin{array}{ll}P'(X)=3(X+1)^2A(X)+(X+1)^3A'(X)\\[.5em] P'(X)=3(X-1)^2B(X)+(X-1)^3B'(X)\enar\right.$

d'où on trouve bien que .
Le résultat précédent montre aussi ue et sont des racines doubles de car

$\la\begin{array}{ll}P''(X)=6(X+1)A(X)+6(X+1)^2A'(X)+(X+1)^3A''(X)\\[.5em] P''(X)=6(X-1)B(X)+6(X-1)^2B'(X)+(X-1)^3B''(X)\enar\right.$

et donc que aussi

$P''(1)=P''(-1)=0$

Ainsi, se factorise par et , soit

$\begin{array}{ll}P'(X)&=(X-1)^2(X+1)^2Q(X)\\ &=\lp(X-1)(X+1)\rp^2Q(X)\\ &=\left( X^2-1\rp^2Q(X)\enar$

Enfin, comme $P\in\R_5[X]\iff \deg(P(X))=5$ , on a $\deg\left( P'\rp=4$ et comme $\deg\lp\lp X^2-1\rp^2\rp=4$ , on a nécessairement $\deg(Q(X))=0$ soit $Q(X)=\lambda\in\R$ .
En développant, on obtient

$P(X)=\lambda\left( X^2-1\rp^2 =\lambda X^4-2\lambda X^2+\lambda$

d'où les primitives $P(X)=\dfrac\lambda5X^5-\dfrac{2\lambda}3X^3+\lambda X+\mu$ , avec $\mu\in\R$ .
En substituant cette expression précédente dans le système définissant , et en utilisant les racines, on a

$\la\begin{array}{lcrcr} P(-1)&=&4&=&-\dfrac\lambda5+\dfrac{2\lambda}3-\lambda +\mu\\[.7em] P(1)&=&12&=&\dfrac\lambda5-\dfrac{2\lambda}3+\lambda+\mu\enar\right.$

En ajoutant ces deux équations, on obtient $2\mu=16$ soit $\mu=8$ , puis en substituant cette valeur on obtient $\lambda=\dfrac{15}2$ .

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