Polynôme définissant par deux relations


Soit $P\in\R_5[X]$ tel que
\[\la\begin{array}{ll}P(X)=(X+1)^3A(X)+4\\[.5em]
P(X)=12+(X-1)^3B(X)\enar\right.\]

avec $A(X)\in\R[X]$ et $B(X)\in\R[X]$.
  1. Montrer que $1$ et $-1$ sont racines de $P'(X)$.
  2. Prouver que $P'(X)=\lambda\left( X^2-1\rp^2$, avec $\lambda\in\R$.
  3. En déduire que $P(X)=\dfrac\lambda5X^5-\dfrac{2\lambda}3X^3+\lambda X+\mu$, avec $\lp\lambda,\mu\rp\in\R^2$.
  4. Déterminer $P(X)$.

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