Matrice d'une application linéaire. Bijective ? Changement de base.
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
- MatricesMatrices
- DéterminantsDéterminants de matrices
Énoncé du sujet
Soit
- Monter que est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique de .
- est-elle bijective ?
- Donner un vecteur non nul du noyau de .
- Montrer que est une base de .
Donner alors la matrice de dans cette base.
Correction
Correction
Soit- est clairement linéaire et sa matrice
dans la base canonique de est:
- On calcule le déterminant de .
La somme des 3 colonnes donne le vecteur nul;
ce déterminant est donc nul, et n'est pas bijective.
- Soit ,
alors
Ainsi, .
- On a , et donc le déterminant de la famille
s'écrit dans la base canonique,
Cette famille est donc libre, donc aussi une base de .
On a directement, , et pour les images des deux premiers vecteurs de cette base, donc dans cette bse la matrice de s'écrit: .
Il reste à déterminer .
On cherche donc , et tels que
On trouve facilement, d'abord (2ème ligne) , puis (3ème ligne) , et enfin . Ainsi, dans la base , la matrice de est .
Tags:Applications linéairesMatricesDéterminants
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