Matrice d'une application linéaire. Bijective ? Changement de base.
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
- MatricesMatrices
- DéterminantsDéterminants de matrices
Énoncé du sujet
Soit
![$f:\la\begin{array}{ccl}\R^3&\to&\R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto&(x-2y+z,y-z,2x-y-z)\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exApplication-lineaire-bijective-changement-bases/1.png)
- Monter que
est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique
de
.
-
est-elle bijective ?
- Donner un vecteur
non nul du noyau de
.
- Montrer que
est une base de
.
Donner alors la matrice dedans cette base.
Correction
Correction
Soit![$f:\la\begin{array}{ccl}\R^3&\to&\R^3 \\ (x,y,z)&\mapsto&(x-2y+z,y-z,2x-y-z)\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exApplication-lineaire-bijective-changement-bases_c/1.png)
-
est clairement linéaire et sa matrice dans la base canonique de
est:
- On calcule le déterminant de
. La somme des 3 colonnes donne le vecteur nul; ce déterminant est donc nul, et
n'est pas bijective.
- Soit
, alors
Ainsi,.
- On a
, et donc le déterminant de la famille
s'écrit dans la base canonique,
Cette famille est donc libre, donc aussi une base de.
On a directement,, et
pour les images des deux premiers vecteurs de cette base, donc dans cette bse la matrice de
s'écrit:
.
Il reste à déterminer.
On cherche donc,
et
tels que
On trouve facilement, d'abord (2ème ligne), puis (3ème ligne)
, et enfin
. Ainsi, dans la base
, la matrice de
est
.
Tags:Applications linéairesMatricesDéterminants
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