Racine carrée d'une loi de Pareto

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit

un réel et

$f:\R\to\R, \, x\mapsto\la\begin{array}{cl} 0 &\text{si } x\leqslant1 \\ \dfrac{a}{x^3} &\text{sinon}\enar\right.$

Déterminer pour que soit une densité probabilité.
Soit une variable aléatoire admettant pour densité. Déterminer la fonction de répartition de .
Étudier si admet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.
Soit $Y=\sqrt{X}$ . Déterminer une densité de .
Étudier si admet une espérance et une variance. Si oui, les calculer.

Correction

est clairement positive, continue sauf en un seul point, et

$\int_1^{+\infty}\dfrac1{x^3}dx =\lb\,-\dfrac1{2x^2}\,\rb_1^{+\infty} =\dfrac12$

et donc

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 \iff a=2$
Si $x\leqslant1$ , on a , sinon, pour ,

$\begin{array}{ll}F_X(x)&=P(X\leqslant x)\\[.6em] &=\dsp\int_{-\infty}^xf(x)dx\\[1em] &=2\dsp\int_1^x\dfrac1{x^3}dx\\[.6em] &=1-\dfrac1{x^2}\enar$
$\int_1^{+\infty}xf(x)dx=\int_1^{+\infty}\dfrac2{x^2}dx$

existe (intégrale de Riemann) et

$E(X)=\int_1^{+\infty}xf(x)dx=2\lb\,-\dfrac1x\,\rb_1^{+\infty}=2$

par contre, le moment d'ordre 2,

$\int_1^{+\infty}x^2f(x)dx=\int_1^{+\infty}\dfrac2xdx$

n'existe pas, ni, donc, la variance.
Pour la fonction de répartition:

$\begin{array}{ll}F_Y(x)&=P(Y\leqslant x)\\ &=P\lp\sqrt{X}\leqslant x\rp\\ &=P\left( X\leqslant x^2\rp\\ &=F_X\left( x^2\rp\enar$

d'où

$F_Y(x)=\la\begin{array}{cl}0&\text{si} x\leqslant1\\ F_X\left( x^2\rp=1-\dfrac1{x^4}&\text{sinon}\enar\right.$

et donc, la densité, pour $y\leqslant1$ et

$f_Y(y)=\dfrac4{y^5} \text{ pour } y>1$
$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy=4\int_1^{+\infty}\dfrac1{y^4}dy =\dfrac43$

tandis que $E\left( Y^2\rp=E(X)=2$ d'où

$V(Y)=E\left( Y^2\rp-\left( E(Y)\rp^2=\dfrac29$

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